Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5090 / 1122
↖ ↑ ↗
← N 78.331648°
E 43.681641°		 ← 988.28 m → N 78.331648°
E 43.725586°		 →
↑
988.59 m
↓
↑
988.59 m
↓
N 78.322758°
E 43.681641°		 ← 989.02 m →
977 364 m²		 N 78.322758°
E 43.725586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62139892578125 y=0.13702392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62139892578125 × 213)
    floor (0.62139892578125 × 8192)
    floor (5090.5)     		tx = 5090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13702392578125 × 213)
    floor (0.13702392578125 × 8192)
    floor (1122.5)     		ty = 1122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5090 / 1122 ti = "13/5090/1122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5090/1122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5090 ÷ 213
    5090 ÷ 8192     		x = 0.621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1122 ÷ 213
    1122 ÷ 8192     		y = 0.136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621337890625 × 2 - 1) × π
    0.24267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76238845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136962890625 × 2 - 1) × π
    0.72607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.28102943152075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76238845} λ = 0.76238845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28102943152075))-π/2
    2×atan(9.78675001460597)-π/2
    2×1.46897075059901-π/2
    2.93794150119803-1.57079632675     		φ = 1.36714517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76238845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36714517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.331648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5090 KachelY 1122 0.76238845 1.36714517 43.681641 78.331648
    Oben rechts KachelX + 1 5091 KachelY 1122 0.76315544 1.36714517 43.725586 78.331648
    Unten links KachelX 5090 KachelY + 1 1123 0.76238845 1.36699000 43.681641 78.322758
    Unten rechts KachelX + 1 5091 KachelY + 1 1123 0.76315544 1.36699000 43.725586 78.322758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36714517-1.36699000) × R
    0.000155169999999982 × 6371000     		dl = 988.588069999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36714517-1.36699000) × R
    0.000155169999999982 × 6371000     		dr = 988.588069999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76238845-0.76315544) × cos(1.36714517) × R
    0.000766990000000023 × 0.202246375366095 × 6371000     		do = 988.275556153273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76238845-0.76315544) × cos(1.36699000) × R
    0.000766990000000023 × 0.202398336292029 × 6371000     		du = 989.018112198194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36714517)-sin(1.36699000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202246375366095-0.202398336292029)×R²
    abs(0.76315544-0.76238845)×0.000151960925934308×R²
    0.000766990000000023×0.000151960925934308×6371000²
    0.000766990000000023×0.000151960925934308×40589641000000     		ar = 977364.467670177m²