Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 51 / 85
↖ ↑ ↗
← S 50.736455°
W 36.562500°		 ← 197.927 km → S 50.736455°
W 33.750000°		 →
↑
194.183 km
↓
↑
194.183 km
↓
S 52.482780°
W 36.562500°		 ← 190.456 km →
37 711.5 km²		 S 52.482780°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.40234375 y=0.66796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.40234375 × 27)
    floor (0.40234375 × 128)
    floor (51.5)     		tx = 51
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66796875 × 27)
    floor (0.66796875 × 128)
    floor (85.5)     		ty = 85
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 51 / 85 ti = "7/51/85"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/51/85.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51 ÷ 27
    51 ÷ 128     		x = 0.3984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85 ÷ 27
    85 ÷ 128     		y = 0.6640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3984375 × 2 - 1) × π
    -0.203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63813601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6640625 × 2 - 1) × π
    -0.328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63813601} λ = -0.63813601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03083508942969))-π/2
    2×atan(0.356708952279156)-π/2
    2×0.342639066941159-π/2
    0.685278133882317-1.57079632675     		φ = -0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63813601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.562500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51 KachelY 85 -0.63813601 -0.88551819 -36.562500 -50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 52 KachelY 85 -0.58904862 -0.88551819 -33.750000 -50.736455
    Unten links KachelX 51 KachelY + 1 86 -0.63813601 -0.91599732 -36.562500 -52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 52 KachelY + 1 86 -0.58904862 -0.91599732 -33.750000 -52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88551819--0.91599732) × R
    0.03047913 × 6371000     		dl = 194182.53723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88551819--0.91599732) × R
    0.03047913 × 6371000     		dr = 194182.53723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63813601--0.58904862) × cos(-0.88551819) × R
    0.04908739 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 197926.830044853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63813601--0.58904862) × cos(-0.91599732) × R
    0.04908739 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 190456.026886625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88551819)-sin(-0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.608999833781129)×R²
    abs(-0.58904862--0.63813601)×0.0238885476923291×R²
    0.04908739×0.0238885476923291×6371000²
    0.04908739×0.0238885476923291×40589641000000     		ar = 37711503760.7822m²