Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 510 / 514
↖ ↑ ↗
← S  0.703107°
W  0.703125°		 ← 39.089 km → S  0.703107°
W  0.351562°		 →
↑
39.087 km
↓
↑
39.087 km
↓
S  1.054628°
W  0.703125°		 ← 39.085 km →
1 527.82 km²		 S  1.054628°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49853515625 y=0.50244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49853515625 × 210)
    floor (0.49853515625 × 1024)
    floor (510.5)     		tx = 510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50244140625 × 210)
    floor (0.50244140625 × 1024)
    floor (514.5)     		ty = 514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 510 / 514 ti = "10/510/514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/510/514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 510 ÷ 210
    510 ÷ 1024     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 514 ÷ 210
    514 ÷ 1024     		y = 0.501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.501953125 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0122718463027344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0122718463027344))-π/2
    2×atan(0.987803145726098)-π/2
    2×0.779262394250125-π/2
    1.55852478850025-1.57079632675     		φ = -0.01227154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01227154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.703107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 510 KachelY 514 -0.01227185 -0.01227154 -0.703125 -0.703107
    Oben rechts KachelX + 1 511 KachelY 514 -0.00613592 -0.01227154 -0.351562 -0.703107
    Unten links KachelX 510 KachelY + 1 515 -0.01227185 -0.01840673 -0.703125 -1.054628
    Unten rechts KachelX + 1 511 KachelY + 1 515 -0.00613592 -0.01840673 -0.351562 -1.054628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01227154--0.01840673) × R
    0.00613519 × 6371000     		dl = 39087.29549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01227154--0.01840673) × R
    0.00613519 × 6371000     		dr = 39087.29549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.00613592) × cos(-0.01227154) × R
    0.00613593 × 0.999924705597908 × 6371000     		do = 39089.0666204782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.00613592) × cos(-0.01840673) × R
    0.00613593 × 0.999830600928244 × 6371000     		du = 39085.3878797878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01227154)-sin(-0.01840673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999924705597908-0.999830600928244)×R²
    abs(-0.00613592--0.01227185)×9.41046696638637e-05×R²
    0.00613593×9.41046696638637e-05×6371000²
    0.00613593×9.41046696638637e-05×40589641000000     		ar = 1527818793.74285m²