Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 510 / 518
↖ ↑ ↗
← S  2.108899°
W  0.703125°		 ← 39.066 km → S  2.108899°
W  0.351562°		 →
↑
39.061 km
↓
↑
39.061 km
↓
S  2.460181°
W  0.703125°		 ← 39.056 km →
1 525.75 km²		 S  2.460181°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49853515625 y=0.50634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49853515625 × 210)
    floor (0.49853515625 × 1024)
    floor (510.5)     		tx = 510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50634765625 × 210)
    floor (0.50634765625 × 1024)
    floor (518.5)     		ty = 518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 510 / 518 ti = "10/510/518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/510/518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 510 ÷ 210
    510 ÷ 1024     		x = 0.498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 518 ÷ 210
    518 ÷ 1024     		y = 0.505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498046875 × 2 - 1) × π
    -0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.505859375 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01227185} λ = -0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0368155389082031))-π/2
    2×atan(0.963853912497098)-π/2
    2×0.766994550800631-π/2
    1.53398910160126-1.57079632675     		φ = -0.03680723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.03680723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.108899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 510 KachelY 518 -0.01227185 -0.03680723 -0.703125 -2.108899
    Oben rechts KachelX + 1 511 KachelY 518 -0.00613592 -0.03680723 -0.351562 -2.108899
    Unten links KachelX 510 KachelY + 1 519 -0.01227185 -0.04293826 -0.703125 -2.460181
    Unten rechts KachelX + 1 511 KachelY + 1 519 -0.00613592 -0.04293826 -0.351562 -2.460181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.03680723--0.04293826) × R
    0.00613103 × 6371000     		dl = 39060.79213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.03680723--0.04293826) × R
    0.00613103 × 6371000     		dr = 39060.79213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01227185--0.00613592) × cos(-0.03680723) × R
    0.00613593 × 0.999322690381729 × 6371000     		do = 39065.5326356092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01227185--0.00613592) × cos(-0.04293826) × R
    0.00613593 × 0.999078294539057 × 6371000     		du = 39055.9787108761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.03680723)-sin(-0.04293826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999322690381729-0.999078294539057)×R²
    abs(-0.00613592--0.01227185)×0.000244395842672107×R²
    0.00613593×0.000244395842672107×6371000²
    0.00613593×0.000244395842672107×40589641000000     		ar = 1525748837.14457m²