Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5104 / 1072
↖ ↑ ↗
← N 78.767792°
E 44.296875°		 ← 951.82 m → N 78.767792°
E 44.340820°		 →
↑
952.15 m
↓
↑
952.15 m
↓
N 78.759229°
E 44.296875°		 ← 952.54 m →
906 612 m²		 N 78.759229°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62310791015625 y=0.13092041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62310791015625 × 213)
    floor (0.62310791015625 × 8192)
    floor (5104.5)     		tx = 5104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13092041015625 × 213)
    floor (0.13092041015625 × 8192)
    floor (1072.5)     		ty = 1072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5104 / 1072 ti = "13/5104/1072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5104/1072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5104 ÷ 213
    5104 ÷ 8192     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1072 ÷ 213
    1072 ÷ 8192     		y = 0.130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130859375 × 2 - 1) × π
    0.73828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3193789512168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3193789512168))-π/2
    2×atan(10.169356677908)-π/2
    2×1.4727768187408-π/2
    2.9455536374816-1.57079632675     		φ = 1.37475731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37475731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.767792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5104 KachelY 1072 0.77312632 1.37475731 44.296875 78.767792
    Oben rechts KachelX + 1 5105 KachelY 1072 0.77389331 1.37475731 44.340820 78.767792
    Unten links KachelX 5104 KachelY + 1 1073 0.77312632 1.37460786 44.296875 78.759229
    Unten rechts KachelX + 1 5105 KachelY + 1 1073 0.77389331 1.37460786 44.340820 78.759229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37475731-1.37460786) × R
    0.000149449999999884 × 6371000     		dl = 952.145949999264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37475731-1.37460786) × R
    0.000149449999999884 × 6371000     		dr = 952.145949999264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.37475731) × R
    0.000766989999999912 × 0.194785755193382 × 6371000     		do = 951.819285739932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.37460786) × R
    0.000766989999999912 × 0.194932340424342 × 6371000     		du = 952.535573487434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37475731)-sin(1.37460786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194785755193382-0.194932340424342)×R²
    abs(0.77389331-0.77312632)×0.000146585230960561×R²
    0.000766989999999912×0.000146585230960561×6371000²
    0.000766989999999912×0.000146585230960561×40589641000000     		ar = 906611.884975058m²