Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5104 / 1136
↖ ↑ ↗
← N 78.206563°
E 44.296875°		 ← 998.72 m → N 78.206563°
E 44.340820°		 →
↑
999.10 m
↓
↑
999.10 m
↓
N 78.197578°
E 44.296875°		 ← 999.47 m →
998 197 m²		 N 78.197578°
E 44.340820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62310791015625 y=0.13873291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62310791015625 × 213)
    floor (0.62310791015625 × 8192)
    floor (5104.5)     		tx = 5104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13873291015625 × 213)
    floor (0.13873291015625 × 8192)
    floor (1136.5)     		ty = 1136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5104 / 1136 ti = "13/5104/1136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5104/1136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5104 ÷ 213
    5104 ÷ 8192     		x = 0.623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1136 ÷ 213
    1136 ÷ 8192     		y = 0.138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623046875 × 2 - 1) × π
    0.24609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77312632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138671875 × 2 - 1) × π
    0.72265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27029156600586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77312632} λ = 0.77312632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27029156600586))-π/2
    2×atan(9.68222340977379)-π/2
    2×1.46787917486646-π/2
    2.93575834973291-1.57079632675     		φ = 1.36496202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77312632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.296875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36496202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.206563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5104 KachelY 1136 0.77312632 1.36496202 44.296875 78.206563
    Oben rechts KachelX + 1 5105 KachelY 1136 0.77389331 1.36496202 44.340820 78.206563
    Unten links KachelX 5104 KachelY + 1 1137 0.77312632 1.36480520 44.296875 78.197578
    Unten rechts KachelX + 1 5105 KachelY + 1 1137 0.77389331 1.36480520 44.340820 78.197578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36496202-1.36480520) × R
    0.000156820000000168 × 6371000     		dl = 999.100220001073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36496202-1.36480520) × R
    0.000156820000000168 × 6371000     		dr = 999.100220001073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.36496202) × R
    0.000766989999999912 × 0.204383926193747 × 6371000     		do = 998.720683929485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77312632-0.77389331) × cos(1.36480520) × R
    0.000766989999999912 × 0.204537433336209 × 6371000     		du = 999.470795551094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36496202)-sin(1.36480520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204383926193747-0.204537433336209)×R²
    abs(0.77389331-0.77312632)×0.000153507142462206×R²
    0.000766989999999912×0.000153507142462206×6371000²
    0.000766989999999912×0.000153507142462206×40589641000000     		ar = 998196.775423703m²