Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5105 / 1073
↖ ↑ ↗
← N 78.759229°
E 44.340820°		 ← 952.54 m → N 78.759229°
E 44.384766°		 →
↑
952.91 m
↓
↑
952.91 m
↓
N 78.750659°
E 44.340820°		 ← 953.25 m →
908 023 m²		 N 78.750659°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62322998046875 y=0.13104248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62322998046875 × 213)
    floor (0.62322998046875 × 8192)
    floor (5105.5)     		tx = 5105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13104248046875 × 213)
    floor (0.13104248046875 × 8192)
    floor (1073.5)     		ty = 1073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5105 / 1073 ti = "13/5105/1073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5105/1073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5105 ÷ 213
    5105 ÷ 8192     		x = 0.6231689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1073 ÷ 213
    1073 ÷ 8192     		y = 0.1309814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    0.246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77389331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1309814453125 × 2 - 1) × π
    0.738037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.31861196082288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77389331} λ = 0.77389331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31861196082288))-π/2
    2×atan(10.1615598694445)-π/2
    2×1.47270209123458-π/2
    2.94540418246916-1.57079632675     		φ = 1.37460786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77389331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37460786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.759229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5105 KachelY 1073 0.77389331 1.37460786 44.340820 78.759229
    Oben rechts KachelX + 1 5106 KachelY 1073 0.77466030 1.37460786 44.384766 78.759229
    Unten links KachelX 5105 KachelY + 1 1074 0.77389331 1.37445829 44.340820 78.750659
    Unten rechts KachelX + 1 5106 KachelY + 1 1074 0.77466030 1.37445829 44.384766 78.750659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37460786-1.37445829) × R
    0.000149570000000043 × 6371000     		dl = 952.910470000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37460786-1.37445829) × R
    0.000149570000000043 × 6371000     		dr = 952.910470000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77389331-0.77466030) × cos(1.37460786) × R
    0.000766990000000023 × 0.194932340424342 × 6371000     		do = 952.535573487572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77389331-0.77466030) × cos(1.37445829) × R
    0.000766990000000023 × 0.195079038995934 × 6371000     		du = 953.25241507331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37460786)-sin(1.37445829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194932340424342-0.195079038995934)×R²
    abs(0.77466030-0.77389331)×0.000146698571592302×R²
    0.000766990000000023×0.000146698571592302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000146698571592302×40589641000000     		ar = 908022.665640755m²