Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5106 / 1010
↖ ↑ ↗
← N 79.286313°
E 44.384766°		 ← 908.41 m → N 79.286313°
E 44.428711°		 →
↑
908.76 m
↓
↑
908.76 m
↓
N 79.278140°
E 44.384766°		 ← 909.09 m →
825 833 m²		 N 79.278140°
E 44.428711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62335205078125 y=0.12335205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62335205078125 × 213)
    floor (0.62335205078125 × 8192)
    floor (5106.5)     		tx = 5106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12335205078125 × 213)
    floor (0.12335205078125 × 8192)
    floor (1010.5)     		ty = 1010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5106 / 1010 ti = "13/5106/1010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5106/1010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5106 ÷ 213
    5106 ÷ 8192     		x = 0.623291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1010 ÷ 213
    1010 ÷ 8192     		y = 0.123291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623291015625 × 2 - 1) × π
    0.24658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77466030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123291015625 × 2 - 1) × π
    0.75341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36693235563989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77466030} λ = 0.77466030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36693235563989))-π/2
    2×atan(10.6646267711682)-π/2
    2×1.47730176970161-π/2
    2.95460353940321-1.57079632675     		φ = 1.38380721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77466030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.384766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38380721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.286313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5106 KachelY 1010 0.77466030 1.38380721 44.384766 79.286313
    Oben rechts KachelX + 1 5107 KachelY 1010 0.77542729 1.38380721 44.428711 79.286313
    Unten links KachelX 5106 KachelY + 1 1011 0.77466030 1.38366457 44.384766 79.278140
    Unten rechts KachelX + 1 5107 KachelY + 1 1011 0.77542729 1.38366457 44.428711 79.278140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38380721-1.38366457) × R
    0.000142639999999972 × 6371000     		dl = 908.75943999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38380721-1.38366457) × R
    0.000142639999999972 × 6371000     		dr = 908.75943999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77466030-0.77542729) × cos(1.38380721) × R
    0.000766990000000023 × 0.185901343343195 × 6371000     		do = 908.405666848534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77466030-0.77542729) × cos(1.38366457) × R
    0.000766990000000023 × 0.186041495010273 × 6371000     		du = 909.090517029295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38380721)-sin(1.38366457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185901343343195-0.186041495010273)×R²
    abs(0.77542729-0.77466030)×0.000140151667078314×R²
    0.000766990000000023×0.000140151667078314×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140151667078314×40589641000000     		ar = 825833.408530836m²