Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 511 / 1535
↖ ↑ ↗
← S 66.443106°
W 90.175781°		 ← 7 811.73 m → S 66.443106°
W 90.000000°		 →
↑
7 800.78 m
↓
↑
7 800.78 m
↓
S 66.513260°
W 90.175781°		 ← 7 789.79 m →
60 852 033 m²		 S 66.513260°
W 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.249755859375 y=0.749755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.249755859375 × 211)
    floor (0.249755859375 × 2048)
    floor (511.5)     		tx = 511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749755859375 × 211)
    floor (0.749755859375 × 2048)
    floor (1535.5)     		ty = 1535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 511 / 1535 ti = "11/511/1535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/511/1535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 511 ÷ 211
    511 ÷ 2048     		x = 0.24951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1535 ÷ 211
    1535 ÷ 2048     		y = 0.74951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24951171875 × 2 - 1) × π
    -0.5009765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.57386429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74951171875 × 2 - 1) × π
    -0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.57386429} λ = -1.57386429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56772836517432))-π/2
    2×atan(0.208518322235628)-π/2
    2×0.205572676496029-π/2
    0.411145352992059-1.57079632675     		φ = -1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.57386429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 511 KachelY 1535 -1.57386429 -1.15965097 -90.175781 -66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 512 KachelY 1535 -1.57079633 -1.15965097 -90.000000 -66.443106
    Unten links KachelX 511 KachelY + 1 1536 -1.57386429 -1.16087539 -90.175781 -66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 512 KachelY + 1 1536 -1.57079633 -1.16087539 -90.000000 -66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15965097--1.16087539) × R
    0.00122442 × 6371000     		dl = 7800.77982000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15965097--1.16087539) × R
    0.00122442 × 6371000     		dr = 7800.77982000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.57386429--1.57079633) × cos(-1.15965097) × R
    0.00306795999999987 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 7811.73379885567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.57386429--1.57079633) × cos(-1.16087539) × R
    0.00306795999999987 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 7789.78991324306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15965097)-sin(-1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.398536816226928)×R²
    abs(-1.57079633--1.57386429)×0.00112268063774479×R²
    0.00306795999999987×0.00112268063774479×6371000²
    0.00306795999999987×0.00112268063774479×40589641000000     		ar = 60852033.2697684m²