Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5112 / 1015
↖ ↑ ↗
← N 79.245389°
E 44.648437°		 ← 911.83 m → N 79.245389°
E 44.692383°		 →
↑
912.20 m
↓
↑
912.20 m
↓
N 79.237185°
E 44.648437°		 ← 912.52 m →
832 089 m²		 N 79.237185°
E 44.692383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62408447265625 y=0.12396240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62408447265625 × 213)
    floor (0.62408447265625 × 8192)
    floor (5112.5)     		tx = 5112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12396240234375 × 213)
    floor (0.12396240234375 × 8192)
    floor (1015.5)     		ty = 1015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5112 / 1015 ti = "13/5112/1015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5112/1015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5112 ÷ 213
    5112 ÷ 8192     		x = 0.6240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1015 ÷ 213
    1015 ÷ 8192     		y = 0.1239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77926224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1239013671875 × 2 - 1) × π
    0.752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36309740367029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77926224} λ = 0.77926224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36309740367029))-π/2
    2×atan(10.6238067611437)-π/2
    2×1.47694463593962-π/2
    2.95388927187925-1.57079632675     		φ = 1.38309295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77926224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.648437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38309295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.245389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5112 KachelY 1015 0.77926224 1.38309295 44.648437 79.245389
    Oben rechts KachelX + 1 5113 KachelY 1015 0.78002923 1.38309295 44.692383 79.245389
    Unten links KachelX 5112 KachelY + 1 1016 0.77926224 1.38294977 44.648437 79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 5113 KachelY + 1 1016 0.78002923 1.38294977 44.692383 79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38309295-1.38294977) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dl = 912.199780000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38309295-1.38294977) × R
    0.000143180000000021 × 6371000     		dr = 912.199780000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77926224-0.78002923) × cos(1.38309295) × R
    0.000766990000000023 × 0.186603105179365 × 6371000     		do = 911.834821352157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77926224-0.78002923) × cos(1.38294977) × R
    0.000766990000000023 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 912.522171061231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38309295)-sin(1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186603105179365-0.186743768364246)×R²
    abs(0.78002923-0.77926224)×0.000140663184881595×R²
    0.000766990000000023×0.000140663184881595×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140663184881595×40589641000000     		ar = 832089.024981208m²