Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5116 / 1052
↖ ↑ ↗
← N 78.937709°
E 44.824219°		 ← 937.60 m → N 78.937709°
E 44.868164°		 →
↑
938 m
↓
↑
938 m
↓
N 78.929273°
E 44.824219°		 ← 938.31 m →
879 803 m²		 N 78.929273°
E 44.868164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62457275390625 y=0.12847900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62457275390625 × 213)
    floor (0.62457275390625 × 8192)
    floor (5116.5)     		tx = 5116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12847900390625 × 213)
    floor (0.12847900390625 × 8192)
    floor (1052.5)     		ty = 1052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5116 / 1052 ti = "13/5116/1052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5116/1052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5116 ÷ 213
    5116 ÷ 8192     		x = 0.62451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1052 ÷ 213
    1052 ÷ 8192     		y = 0.12841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62451171875 × 2 - 1) × π
    0.2490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78233020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    0.7431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33471875909521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78233020} λ = 0.78233020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33471875909521))-π/2
    2×atan(10.3265552711865)-π/2
    2×1.47425962148049-π/2
    2.94851924296098-1.57079632675     		φ = 1.37772292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78233020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.824219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37772292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.937709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5116 KachelY 1052 0.78233020 1.37772292 44.824219 78.937709
    Oben rechts KachelX + 1 5117 KachelY 1052 0.78309719 1.37772292 44.868164 78.937709
    Unten links KachelX 5116 KachelY + 1 1053 0.78233020 1.37757569 44.824219 78.929273
    Unten rechts KachelX + 1 5117 KachelY + 1 1053 0.78309719 1.37757569 44.868164 78.929273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37772292-1.37757569) × R
    0.000147230000000054 × 6371000     		dl = 938.002330000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37772292-1.37757569) × R
    0.000147230000000054 × 6371000     		dr = 938.002330000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78233020-0.78309719) × cos(1.37772292) × R
    0.000766990000000023 × 0.19187609675018 × 6371000     		do = 937.601259281173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78233020-0.78309719) × cos(1.37757569) × R
    0.000766990000000023 × 0.192020589012658 × 6371000     		du = 938.307319752229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37772292)-sin(1.37757569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19187609675018-0.192020589012658)×R²
    abs(0.78309719-0.78233020)×0.000144492262478174×R²
    0.000766990000000023×0.000144492262478174×6371000²
    0.000766990000000023×0.000144492262478174×40589641000000     		ar = 879803.310590036m²