Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5118 / 1022
↖ ↑ ↗
← N 79.187835°
E 44.912109°		 ← 916.66 m → N 79.187835°
E 44.956055°		 →
↑
916.98 m
↓
↑
916.98 m
↓
N 79.179588°
E 44.912109°		 ← 917.35 m →
840 871 m²		 N 79.179588°
E 44.956055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62481689453125 y=0.12481689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62481689453125 × 213)
    floor (0.62481689453125 × 8192)
    floor (5118.5)     		tx = 5118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12481689453125 × 213)
    floor (0.12481689453125 × 8192)
    floor (1022.5)     		ty = 1022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5118 / 1022 ti = "13/5118/1022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5118/1022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5118 ÷ 213
    5118 ÷ 8192     		x = 0.624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1022 ÷ 213
    1022 ÷ 8192     		y = 0.124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    0.24951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.78386418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124755859375 × 2 - 1) × π
    0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78386418} λ = 0.78386418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35772847091284))-π/2
    2×atan(10.5669211013024)-π/2
    2×1.47644238281365-π/2
    2.95288476562731-1.57079632675     		φ = 1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78386418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.912109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5118 KachelY 1022 0.78386418 1.38208844 44.912109 79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 5119 KachelY 1022 0.78463117 1.38208844 44.956055 79.187835
    Unten links KachelX 5118 KachelY + 1 1023 0.78386418 1.38194451 44.912109 79.179588
    Unten rechts KachelX + 1 5119 KachelY + 1 1023 0.78463117 1.38194451 44.956055 79.179588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38208844-1.38194451) × R
    0.000143929999999903 × 6371000     		dl = 916.978029999384m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38208844-1.38194451) × R
    0.000143929999999903 × 6371000     		dr = 916.978029999384m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78386418-0.78463117) × cos(1.38208844) × R
    0.000766990000000023 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 916.656675401679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78386418-0.78463117) × cos(1.38194451) × R
    0.000766990000000023 × 0.187731249965481 × 6371000     		du = 917.347493279665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38208844)-sin(1.38194451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.187731249965481)×R²
    abs(0.78463117-0.78386418)×0.000141372930850092×R²
    0.000766990000000023×0.000141372930850092×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141372930850092×40589641000000     		ar = 840870.766256447m²