Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51184 / 83984
↖ ↑ ↗
← S 45.120053°
W 39.418945°		 ← 215.47 m → S 45.120053°
W 39.416199°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.121991°
W 39.418945°		 ← 215.46 m →
46 440 m²		 S 45.121991°
W 39.416199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390506744384766 y=0.640750885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390506744384766 × 217)
    floor (0.390506744384766 × 131072)
    floor (51184.5)     		tx = 51184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640750885009766 × 217)
    floor (0.640750885009766 × 131072)
    floor (83984.5)     		ty = 83984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51184 / 83984 ti = "17/51184/83984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51184/83984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51184 ÷ 217
    51184 ÷ 131072     		x = 0.3905029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83984 ÷ 217
    83984 ÷ 131072     		y = 0.6407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.884339924190796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68799038} λ = -0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884339924190796))-π/2
    2×atan(0.41298668585053)-π/2
    2×0.391651423027101-π/2
    0.783302846054201-1.57079632675     		φ = -0.78749348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78749348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.120053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51184 KachelY 83984 -0.68799038 -0.78749348 -39.418945 -45.120053
    Oben rechts KachelX + 1 51185 KachelY 83984 -0.68794245 -0.78749348 -39.416199 -45.120053
    Unten links KachelX 51184 KachelY + 1 83985 -0.68799038 -0.78752731 -39.418945 -45.121991
    Unten rechts KachelX + 1 51185 KachelY + 1 83985 -0.68794245 -0.78752731 -39.416199 -45.121991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78749348--0.78752731) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78749348--0.78752731) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68799038--0.68794245) × cos(-0.78749348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705623617469134 × 6371000     		do = 215.47066024645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68799038--0.68794245) × cos(-0.78752731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705599645572544 × 6371000     		du = 215.463340139445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78749348)-sin(-0.78752731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705623617469134-0.705599645572544)×R²
    abs(-0.68794245--0.68799038)×2.39718965902025e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39718965902025e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39718965902025e-05×40589641000000     		ar = 46439.8029404428m²