Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5119 / 1027
↖ ↑ ↗
← N 79.146538°
E 44.956055°		 ← 920.12 m → N 79.146538°
E 45.000000°		 →
↑
920.42 m
↓
↑
920.42 m
↓
N 79.138261°
E 44.956055°		 ← 920.81 m →
847 211 m²		 N 79.138261°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62493896484375 y=0.12542724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62493896484375 × 213)
    floor (0.62493896484375 × 8192)
    floor (5119.5)     		tx = 5119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12542724609375 × 213)
    floor (0.12542724609375 × 8192)
    floor (1027.5)     		ty = 1027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5119 / 1027 ti = "13/5119/1027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5119/1027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5119 ÷ 213
    5119 ÷ 8192     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1027 ÷ 213
    1027 ÷ 8192     		y = 0.1253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1253662109375 × 2 - 1) × π
    0.749267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.35389351894324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35389351894324))-π/2
    2×atan(10.526475070275)-π/2
    2×1.47608200543681-π/2
    2.95216401087361-1.57079632675     		φ = 1.38136768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38136768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.146538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5119 KachelY 1027 0.78463117 1.38136768 44.956055 79.146538
    Oben rechts KachelX + 1 5120 KachelY 1027 0.78539816 1.38136768 45.000000 79.146538
    Unten links KachelX 5119 KachelY + 1 1028 0.78463117 1.38122321 44.956055 79.138261
    Unten rechts KachelX + 1 5120 KachelY + 1 1028 0.78539816 1.38122321 45.000000 79.138261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38136768-1.38122321) × R
    0.000144470000000174 × 6371000     		dl = 920.41837000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38136768-1.38122321) × R
    0.000144470000000174 × 6371000     		dr = 920.41837000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.38136768) × R
    0.000766989999999912 × 0.188297792913896 × 6371000     		do = 920.115901595457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(1.38122321) × R
    0.000766989999999912 × 0.188439676666111 × 6371000     		du = 920.809215598617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38136768)-sin(1.38122321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188297792913896-0.188439676666111)×R²
    abs(0.78539816-0.78463117)×0.000141883752215327×R²
    0.000766989999999912×0.000141883752215327×6371000²
    0.000766989999999912×0.000141883752215327×40589641000000     		ar = 847210.649306349m²