Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5119 / 7169
↖ ↑ ↗
← S 79.179587°
E 44.956055°		 ← 917.35 m → S 79.179587°
E 45.000000°		 →
↑
917.04 m
↓
↑
917.04 m
↓
S 79.187835°
E 44.956055°		 ← 916.66 m →
840 929 m²		 S 79.187835°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62493896484375 y=0.87518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62493896484375 × 213)
    floor (0.62493896484375 × 8192)
    floor (5119.5)     		tx = 5119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87518310546875 × 213)
    floor (0.87518310546875 × 8192)
    floor (7169.5)     		ty = 7169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5119 / 7169 ti = "13/5119/7169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5119/7169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5119 ÷ 213
    5119 ÷ 8192     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7169 ÷ 213
    7169 ÷ 8192     		y = 0.8751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35696148051892
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35696148051892))-π/2
    2×atan(0.0947075571978028)-π/2
    2×0.0944259109038883-π/2
    0.188851821807777-1.57079632675     		φ = -1.38194450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38194450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.179587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5119 KachelY 7169 0.78463117 -1.38194450 44.956055 -79.179587
    Oben rechts KachelX + 1 5120 KachelY 7169 0.78539816 -1.38194450 45.000000 -79.179587
    Unten links KachelX 5119 KachelY + 1 7170 0.78463117 -1.38208844 44.956055 -79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 5120 KachelY + 1 7170 0.78539816 -1.38208844 45.000000 -79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38194450--1.38208844) × R
    0.000143940000000065 × 6371000     		dl = 917.041740000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38194450--1.38208844) × R
    0.000143940000000065 × 6371000     		dr = 917.041740000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(-1.38194450) × R
    0.000766989999999912 × 0.187731259787686 × 6371000     		do = 917.347541275669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78539816) × cos(-1.38208844) × R
    0.000766989999999912 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 916.656675401546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38194450)-sin(-1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187731259787686-0.187589877034631)×R²
    abs(0.78539816-0.78463117)×0.000141382753054559×R²
    0.000766989999999912×0.000141382753054559×6371000²
    0.000766989999999912×0.000141382753054559×40589641000000     		ar = 840929.21046945m²