Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51192 / 83960
↖ ↑ ↗
← S 45.073521°
W 39.396973°		 ← 215.69 m → S 45.073521°
W 39.394226°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 45.075460°
W 39.396973°		 ← 215.68 m →
46 515 m²		 S 45.075460°
W 39.394226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390567779541016 y=0.640567779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390567779541016 × 217)
    floor (0.390567779541016 × 131072)
    floor (51192.5)     		tx = 51192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640567779541016 × 217)
    floor (0.640567779541016 × 131072)
    floor (83960.5)     		ty = 83960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51192 / 83960 ti = "17/51192/83960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51192/83960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51192 ÷ 217
    51192 ÷ 131072     		x = 0.39056396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83960 ÷ 217
    83960 ÷ 131072     		y = 0.64056396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64056396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68760689} λ = -0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883189438599915))-π/2
    2×atan(0.413462094504792)-π/2
    2×0.392057493380064-π/2
    0.784114986760127-1.57079632675     		φ = -0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51192 KachelY 83960 -0.68760689 -0.78668134 -39.396973 -45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 51193 KachelY 83960 -0.68755895 -0.78668134 -39.394226 -45.073521
    Unten links KachelX 51192 KachelY + 1 83961 -0.68760689 -0.78671519 -39.396973 -45.075460
    Unten rechts KachelX + 1 51193 KachelY + 1 83961 -0.68755895 -0.78671519 -39.394226 -45.075460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78668134--0.78671519) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78668134--0.78671519) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68760689--0.68755895) × cos(-0.78668134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 215.691308308457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68760689--0.68755895) × cos(-0.78671519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706174889754954 × 6371000     		du = 215.683988272684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78668134)-sin(-0.78671519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706174889754954)×R²
    abs(-0.68755895--0.68760689)×2.39666629703317e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39666629703317e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39666629703317e-05×40589641000000     		ar = 46514.8423501526m²