Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51196 / 83980
↖ ↑ ↗
← S 45.112300°
W 39.385986°		 ← 215.54 m → S 45.112300°
W 39.383240°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.114238°
W 39.385986°		 ← 215.54 m →
46 456 m²		 S 45.114238°
W 39.383240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390598297119141 y=0.640720367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390598297119141 × 217)
    floor (0.390598297119141 × 131072)
    floor (51196.5)     		tx = 51196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640720367431641 × 217)
    floor (0.640720367431641 × 131072)
    floor (83980.5)     		ty = 83980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51196 / 83980 ti = "17/51196/83980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51196/83980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51196 ÷ 217
    51196 ÷ 131072     		x = 0.390594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83980 ÷ 217
    83980 ÷ 131072     		y = 0.640716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.21881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.68741514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.884148176592316
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68741514} λ = -0.68741514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884148176592316))-π/2
    2×atan(0.413065882648402)-π/2
    2×0.391719078439945-π/2
    0.783438156879889-1.57079632675     		φ = -0.78735817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68741514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.385986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78735817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.112300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51196 KachelY 83980 -0.68741514 -0.78735817 -39.385986 -45.112300
    Oben rechts KachelX + 1 51197 KachelY 83980 -0.68736720 -0.78735817 -39.383240 -45.112300
    Unten links KachelX 51196 KachelY + 1 83981 -0.68741514 -0.78739200 -39.385986 -45.114238
    Unten rechts KachelX + 1 51197 KachelY + 1 83981 -0.68736720 -0.78739200 -39.383240 -45.114238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78735817--0.78739200) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78735817--0.78739200) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68741514--0.68736720) × cos(-0.78735817) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705719489894665 × 6371000     		do = 215.544897433858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68741514--0.68736720) × cos(-0.78739200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.705695521228258 × 6371000     		du = 215.537576786184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78735817)-sin(-0.78739200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705719489894665-0.705695521228258)×R²
    abs(-0.68736720--0.68741514)×2.39686664073036e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39686664073036e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39686664073036e-05×40589641000000     		ar = 46455.8032921462m²