Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51199 / 83969
↖ ↑ ↗
← S 45.090975°
W 39.377747°		 ← 215.63 m → S 45.090975°
W 39.375000°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 45.092914°
W 39.377747°		 ← 215.62 m →
46 487 m²		 S 45.092914°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390621185302734 y=0.640636444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390621185302734 × 217)
    floor (0.390621185302734 × 131072)
    floor (51199.5)     		tx = 51199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640636444091797 × 217)
    floor (0.640636444091797 × 131072)
    floor (83969.5)     		ty = 83969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51199 / 83969 ti = "17/51199/83969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51199/83969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51199 ÷ 217
    51199 ÷ 131072     		x = 0.390617370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83969 ÷ 217
    83969 ÷ 131072     		y = 0.640632629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390617370605469 × 2 - 1) × π
    -0.218765258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.68727133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640632629394531 × 2 - 1) × π
    -0.281265258789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.883620870696495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68727133} λ = -0.68727133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883620870696495))-π/2
    2×atan(0.413283752160576)-π/2
    2×0.391905178220073-π/2
    0.783810356440145-1.57079632675     		φ = -0.78698597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68727133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.377747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78698597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.090975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51199 KachelY 83969 -0.68727133 -0.78698597 -39.377747 -45.090975
    Oben rechts KachelX + 1 51200 KachelY 83969 -0.68722339 -0.78698597 -39.375000 -45.090975
    Unten links KachelX 51199 KachelY + 1 83970 -0.68727133 -0.78701981 -39.377747 -45.092914
    Unten rechts KachelX + 1 51200 KachelY + 1 83970 -0.68722339 -0.78701981 -39.375000 -45.092914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78698597--0.78701981) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78698597--0.78701981) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68727133--0.68722339) × cos(-0.78698597) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705983141488632 × 6371000     		do = 215.625423416549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68727133--0.68722339) × cos(-0.78701981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705959174627294 × 6371000     		du = 215.618103320189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78698597)-sin(-0.78701981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705983141488632-0.705959174627294)×R²
    abs(-0.68722339--0.68727133)×2.39668613380983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39668613380983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39668613380983e-05×40589641000000     		ar = 46486.8964539831m²