Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 512 / 512
N  0.000000°
E  0.000000°
← 39.092 km → N  0.000000°
E  0.351562°

39.092 km

39.092 km
S  0.351560°
E  0.000000°
← 39.091 km →
1 528.16 km²
S  0.351560°
E  0.351562°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50048828125 y=0.50048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50048828125 × 210)
    floor (0.50048828125 × 1024)
    floor (512.5)
    tx = 512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50048828125 × 210)
    floor (0.50048828125 × 1024)
    floor (512.5)
    ty = 512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 512 / 512 ti = "10/512/512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/512/512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 512 ÷ 210
    512 ÷ 1024
    x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 512 ÷ 210
    512 ÷ 1024
    y = 0.5
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535
    Φ = 0
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0))-π/2
    2×atan(1)-π/2
    2×0.785398163397448-π/2
    1.5707963267949-1.57079632675
    φ = 0.00000000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.00000000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 0.000000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 512 KachelY 512 0.00000000 0.00000000 0.000000 0.000000
    Oben rechts KachelX + 1 513 KachelY 512 0.00613592 0.00000000 0.351562 0.000000
    Unten links KachelX 512 KachelY + 1 513 0.00000000 -0.00613588 0.000000 -0.351560
    Unten rechts KachelX + 1 513 KachelY + 1 513 0.00613592 -0.00613588 0.351562 -0.351560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.00000000--0.00613588) × R
    0.00613588 × 6371000
    dl = 39091.69148m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.00000000--0.00613588) × R
    0.00613588 × 6371000
    dr = 39091.69148m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.00613592) × cos(0.00000000) × R
    0.00613592 × 1 × 6371000
    do = 39091.94632m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.00613592) × cos(-0.00613588) × R
    0.00613592 × 0.999981175547373 × 6371000
    du = 39091.2104355084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.00000000)-sin(-0.00613588))×
    abs(λ12)×abs(1-0.999981175547373)×
    abs(0.00613592-0.00000000)×1.88244526269088e-05×
    0.00613592×1.88244526269088e-05×6371000²
    0.00613592×1.88244526269088e-05×40589641000000
    ar = 1528160715.89229m²