Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 512 / 513
↖ ↑ ↗
← S  0.351560°
E  0.000000°		 ← 39.091 km → S  0.351560°
E  0.351562°		 →
↑
39.090 km
↓
↑
39.090 km
↓
S  0.703107°
E  0.000000°		 ← 39.089 km →
1 528.05 km²		 S  0.703107°
E  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50048828125 y=0.50146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50048828125 × 210)
    floor (0.50048828125 × 1024)
    floor (512.5)     		tx = 512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50146484375 × 210)
    floor (0.50146484375 × 1024)
    floor (513.5)     		ty = 513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 512 / 513 ti = "10/512/513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/512/513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 512 ÷ 210
    512 ÷ 1024     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 513 ÷ 210
    513 ÷ 1024     		y = 0.5009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5009765625 × 2 - 1) × π
    -0.001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.00613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00613592315136719))-π/2
    2×atan(0.993882863181622)-π/2
    2×0.782330221072814-π/2
    1.56466044214563-1.57079632675     		φ = -0.00613588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00613588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.351560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 512 KachelY 513 0.00000000 -0.00613588 0.000000 -0.351560
    Oben rechts KachelX + 1 513 KachelY 513 0.00613592 -0.00613588 0.351562 -0.351560
    Unten links KachelX 512 KachelY + 1 514 0.00000000 -0.01227154 0.000000 -0.703107
    Unten rechts KachelX + 1 513 KachelY + 1 514 0.00613592 -0.01227154 0.351562 -0.703107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00613588--0.01227154) × R
    0.00613566 × 6371000     		dl = 39090.28986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00613588--0.01227154) × R
    0.00613566 × 6371000     		dr = 39090.28986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.00613592) × cos(-0.00613588) × R
    0.00613592 × 0.999981175547373 × 6371000     		do = 39091.2104355084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.00613592) × cos(-0.01227154) × R
    0.00613592 × 0.999924705597908 × 6371000     		du = 39089.0029152752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00613588)-sin(-0.01227154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999981175547373-0.999924705597908)×R²
    abs(0.00613592-0.00000000)×5.64699494653986e-05×R²
    0.00613592×5.64699494653986e-05×6371000²
    0.00613592×5.64699494653986e-05×40589641000000     		ar = 1528048394.38609m²