Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5120 / 7168
↖ ↑ ↗
← S 79.171334°
E 45.000000°		 ← 918.04 m → S 79.171334°
E 45.043945°		 →
↑
917.68 m
↓
↑
917.68 m
↓
S 79.179587°
E 45.000000°		 ← 917.35 m →
842 148 m²		 S 79.179587°
E 45.043945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62506103515625 y=0.87506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62506103515625 × 213)
    floor (0.62506103515625 × 8192)
    floor (5120.5)     		tx = 5120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87506103515625 × 213)
    floor (0.87506103515625 × 8192)
    floor (7168.5)     		ty = 7168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5120 / 7168 ti = "13/5120/7168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5120/7168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5120 ÷ 213
    5120 ÷ 8192     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7168 ÷ 213
    7168 ÷ 8192     		y = 0.875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875 × 2 - 1) × π
    -0.75 × 3.1415926535     		Φ = -2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.356194490125))-π/2
    2×atan(0.0947802248485378)-π/2
    2×0.0944979320635037-π/2
    0.188995864127007-1.57079632675     		φ = -1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5120 KachelY 7168 0.78539816 -1.38180046 45.000000 -79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 5121 KachelY 7168 0.78616515 -1.38180046 45.043945 -79.171334
    Unten links KachelX 5120 KachelY + 1 7169 0.78539816 -1.38194450 45.000000 -79.179587
    Unten rechts KachelX + 1 5121 KachelY + 1 7169 0.78616515 -1.38194450 45.043945 -79.179587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38180046--1.38194450) × R
    0.000144039999999901 × 6371000     		dl = 917.678839999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38180046--1.38194450) × R
    0.000144039999999901 × 6371000     		dr = 917.678839999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.78616515) × cos(-1.38180046) × R
    0.000766990000000023 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 918.038868091794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.78616515) × cos(-1.38194450) × R
    0.000766990000000023 × 0.187731259787686 × 6371000     		du = 917.347541275802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38180046)-sin(-1.38194450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.187731259787686)×R²
    abs(0.78616515-0.78539816)×0.000141477082841235×R²
    0.000766990000000023×0.000141477082841235×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141477082841235×40589641000000     		ar = 842147.63700259m²