Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51200 / 2048
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E101.250000°		 ← 64.06 m → N 83.979259°
E101.255493°		 →
↑
64.03 m
↓
↑
64.03 m
↓
N 83.978684°
E101.250000°		 ← 64.07 m →
4 102 m²		 N 83.978684°
E101.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781257629394531 y=0.0312576293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781257629394531 × 216)
    floor (0.781257629394531 × 65536)
    floor (51200.5)     		tx = 51200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0312576293945312 × 216)
    floor (0.0312576293945312 × 65536)
    floor (2048.5)     		ty = 2048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51200 / 2048 ti = "16/51200/2048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51200/2048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51200 ÷ 216
    51200 ÷ 65536     		x = 0.78125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2048 ÷ 216
    2048 ÷ 65536     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78125 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76714587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76714587} λ = 1.76714587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76714587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51200 KachelY 2048 1.76714587 1.46571458 101.250000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 51201 KachelY 2048 1.76724174 1.46571458 101.255493 83.979259
    Unten links KachelX 51200 KachelY + 1 2049 1.76714587 1.46570453 101.250000 83.978684
    Unten rechts KachelX + 1 51201 KachelY + 1 2049 1.76724174 1.46570453 101.255493 83.978684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46570453) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dl = 64.028549999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46570453) × R
    1.00499999999837e-05 × 6371000     		dr = 64.028549999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76714587-1.76724174) × cos(1.46571458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 64.0645916715927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76714587-1.76724174) × cos(1.46570453) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.104898459616976 × 6371000     		du = 64.0706962258866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46570453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.104898459616976)×R²
    abs(1.76724174-1.76714587)×9.9945588201561e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.9945588201561e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.9945588201561e-06×40589641000000     		ar = 4102.15834407029m²