Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51200 / 79872
↖ ↑ ↗
← S 36.597889°
W 39.375000°		 ← 245.16 m → S 36.597889°
W 39.372254°		 →
↑
245.22 m
↓
↑
245.22 m
↓
S 36.600094°
W 39.375000°		 ← 245.15 m →
60 116 m²		 S 36.600094°
W 39.372254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390628814697266 y=0.609378814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390628814697266 × 217)
    floor (0.390628814697266 × 131072)
    floor (51200.5)     		tx = 51200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609378814697266 × 217)
    floor (0.609378814697266 × 131072)
    floor (79872.5)     		ty = 79872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51200 / 79872 ti = "17/51200/79872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51200/79872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51200 ÷ 217
    51200 ÷ 131072     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79872 ÷ 217
    79872 ÷ 131072     		y = 0.609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609375 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Φ = -0.687223392953125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687223392953125))-π/2
    2×atan(0.502970683966761)-π/2
    2×0.466021331079369-π/2
    0.932042662158738-1.57079632675     		φ = -0.63875366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63875366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.597889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51200 KachelY 79872 -0.68722339 -0.63875366 -39.375000 -36.597889
    Oben rechts KachelX + 1 51201 KachelY 79872 -0.68717546 -0.63875366 -39.372254 -36.597889
    Unten links KachelX 51200 KachelY + 1 79873 -0.68722339 -0.63879215 -39.375000 -36.600094
    Unten rechts KachelX + 1 51201 KachelY + 1 79873 -0.68717546 -0.63879215 -39.372254 -36.600094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63875366--0.63879215) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dl = 245.219790000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63875366--0.63879215) × R
    3.84900000000021e-05 × 6371000     		dr = 245.219790000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.63875366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.802839443284969 × 6371000     		do = 245.156682165718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.63879215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.802816495133422 × 6371000     		du = 245.149674671577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63875366)-sin(-0.63879215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802839443284969-0.802816495133422)×R²
    abs(-0.68717546--0.68722339)×2.29481515466867e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29481515466867e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29481515466867e-05×40589641000000     		ar = 60116.4109369812m²