Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51200 / 83966
↖ ↑ ↗
← S 45.085157°
W 39.375000°		 ← 215.60 m → S 45.085157°
W 39.372254°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 45.087096°
W 39.375000°		 ← 215.60 m →
46 482 m²		 S 45.087096°
W 39.372254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390628814697266 y=0.640613555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390628814697266 × 217)
    floor (0.390628814697266 × 131072)
    floor (51200.5)     		tx = 51200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640613555908203 × 217)
    floor (0.640613555908203 × 131072)
    floor (83966.5)     		ty = 83966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51200 / 83966 ti = "17/51200/83966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51200/83966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51200 ÷ 217
    51200 ÷ 131072     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83966 ÷ 217
    83966 ÷ 131072     		y = 0.640609741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640609741210938 × 2 - 1) × π
    -0.281219482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.883477059997635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883477059997635))-π/2
    2×atan(0.413343191059674)-π/2
    2×0.391955944769712-π/2
    0.783911889539424-1.57079632675     		φ = -0.78688444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78688444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.085157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51200 KachelY 83966 -0.68722339 -0.78688444 -39.375000 -45.085157
    Oben rechts KachelX + 1 51201 KachelY 83966 -0.68717546 -0.78688444 -39.372254 -45.085157
    Unten links KachelX 51200 KachelY + 1 83967 -0.68722339 -0.78691828 -39.375000 -45.087096
    Unten rechts KachelX + 1 51201 KachelY + 1 83967 -0.68717546 -0.78691828 -39.372254 -45.087096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78688444--0.78691828) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dl = 215.594639999692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78688444--0.78691828) × R
    3.38399999999517e-05 × 6371000     		dr = 215.594639999692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.78688444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706055044303385 × 6371000     		do = 215.602401620354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.78691828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706031079867729 × 6371000     		du = 215.595083791634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78688444)-sin(-0.78691828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706055044303385-0.706031079867729)×R²
    abs(-0.68717546--0.68722339)×2.39644356563318e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39644356563318e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39644356563318e-05×40589641000000     		ar = 46481.9333225425m²