Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51200 / 83968
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
W 39.375000°		 ← 215.59 m → S 45.089036°
W 39.372254°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 45.090975°
W 39.375000°		 ← 215.58 m →
46 479 m²		 S 45.090975°
W 39.372254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83968 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390628814697266 y=0.640628814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390628814697266 × 217)
    floor (0.390628814697266 × 131072)
    floor (51200.5)     		tx = 51200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640628814697266 × 217)
    floor (0.640628814697266 × 131072)
    floor (83968.5)     		ty = 83968
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51200 / 83968 ti = "17/51200/83968"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51200/83968.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51200 ÷ 217
    51200 ÷ 131072     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83968 ÷ 217
    83968 ÷ 131072     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51200 KachelY 83968 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 51201 KachelY 83968 -0.68717546 -0.78695213 -39.372254 -45.089036
    Unten links KachelX 51200 KachelY + 1 83969 -0.68722339 -0.78698597 -39.375000 -45.090975
    Unten rechts KachelX + 1 51201 KachelY + 1 83969 -0.68717546 -0.78698597 -39.372254 -45.090975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.78698597) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dl = 215.5946400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.78698597) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dr = 215.5946400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.78695213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 215.587763553438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.68717546) × cos(-0.78698597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705983141488632 × 6371000     		du = 215.580445230878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.78698597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.705983141488632)×R²
    abs(-0.68717546--0.68722339)×2.3966052884572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3966052884572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3966052884572e-05×40589641000000     		ar = 46478.7773805734m²