Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51202 / 83970
↖ ↑ ↗
← S 45.092914°
W 39.369507°		 ← 215.62 m → S 45.092914°
W 39.366760°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 45.094852°
W 39.369507°		 ← 215.61 m →
46 485 m²		 S 45.094852°
W 39.366760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390644073486328 y=0.640644073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390644073486328 × 217)
    floor (0.390644073486328 × 131072)
    floor (51202.5)     		tx = 51202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640644073486328 × 217)
    floor (0.640644073486328 × 131072)
    floor (83970.5)     		ty = 83970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51202 / 83970 ti = "17/51202/83970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51202/83970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51202 ÷ 217
    51202 ÷ 131072     		x = 0.390640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83970 ÷ 217
    83970 ÷ 131072     		y = 0.640640258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.218719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68712752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.281280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883668807596115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68712752} λ = -0.68712752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883668807596115))-π/2
    2×atan(0.413263941093678)-π/2
    2×0.391888257185827-π/2
    0.783776514371654-1.57079632675     		φ = -0.78701981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68712752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78701981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.092914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51202 KachelY 83970 -0.68712752 -0.78701981 -39.369507 -45.092914
    Oben rechts KachelX + 1 51203 KachelY 83970 -0.68707958 -0.78701981 -39.366760 -45.092914
    Unten links KachelX 51202 KachelY + 1 83971 -0.68712752 -0.78705365 -39.369507 -45.094852
    Unten rechts KachelX + 1 51203 KachelY + 1 83971 -0.68707958 -0.78705365 -39.366760 -45.094852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78701981--0.78705365) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dl = 215.5946400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78701981--0.78705365) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dr = 215.5946400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68712752--0.68707958) × cos(-0.78701981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705959174627294 × 6371000     		do = 215.618103320189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68712752--0.68707958) × cos(-0.78705365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70593520695753 × 6371000     		du = 215.610782976915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78701981)-sin(-0.78705365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705959174627294-0.70593520695753)×R²
    abs(-0.68707958--0.68712752)×2.39676697642022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39676697642022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39676697642022e-05×40589641000000     		ar = 46485.3182539065m²