Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51203 / 83973
↖ ↑ ↗
← S 45.098730°
W 39.366760°		 ← 215.55 m → S 45.098730°
W 39.364014°		 →
↑
215.59 m
↓
↑
215.59 m
↓
S 45.100669°
W 39.366760°		 ← 215.54 m →
46 471 m²		 S 45.100669°
W 39.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390651702880859 y=0.640666961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390651702880859 × 217)
    floor (0.390651702880859 × 131072)
    floor (51203.5)     		tx = 51203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640666961669922 × 217)
    floor (0.640666961669922 × 131072)
    floor (83973.5)     		ty = 83973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51203 / 83973 ti = "17/51203/83973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51203/83973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51203 ÷ 217
    51203 ÷ 131072     		x = 0.390647888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83973 ÷ 217
    83973 ÷ 131072     		y = 0.640663146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390647888183594 × 2 - 1) × π
    -0.218704223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.68707958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640663146972656 × 2 - 1) × π
    -0.281326293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.883812618294975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68707958} λ = -0.68707958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883812618294975))-π/2
    2×atan(0.413204513590753)-π/2
    2×0.391837497529991-π/2
    0.783674995059982-1.57079632675     		φ = -0.78712133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68707958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.366760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78712133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.098730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51203 KachelY 83973 -0.68707958 -0.78712133 -39.366760 -45.098730
    Oben rechts KachelX + 1 51204 KachelY 83973 -0.68703165 -0.78712133 -39.364014 -45.098730
    Unten links KachelX 51203 KachelY + 1 83974 -0.68707958 -0.78715517 -39.366760 -45.100669
    Unten rechts KachelX + 1 51204 KachelY + 1 83974 -0.68703165 -0.78715517 -39.364014 -45.100669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78712133--0.78715517) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dl = 215.5946400004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78712133--0.78715517) × R
    3.38400000000627e-05 × 6371000     		dr = 215.5946400004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68707958--0.68703165) × cos(-0.78712133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705887269192833 × 6371000     		do = 215.551169472012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68707958--0.68703165) × cos(-0.78715517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705863299097956 × 6371000     		du = 215.543849915181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78712133)-sin(-0.78715517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705887269192833-0.705863299097956)×R²
    abs(-0.68703165--0.68707958)×2.39700948776456e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39700948776456e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39700948776456e-05×40589641000000     		ar = 46470.8877596752m²