Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51204 / 51204
↖ ↑ ↗
← S 70.619907°
E101.271972°		 ← 202.70 m → S 70.619907°
E101.277466°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 70.621729°
E101.271972°		 ← 202.68 m →
41 078 m²		 S 70.621729°
E101.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781318664550781 y=0.781318664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781318664550781 × 216)
    floor (0.781318664550781 × 65536)
    floor (51204.5)     		tx = 51204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781318664550781 × 216)
    floor (0.781318664550781 × 65536)
    floor (51204.5)     		ty = 51204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51204 / 51204 ti = "16/51204/51204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51204/51204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51204 ÷ 216
    51204 ÷ 65536     		x = 0.78131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51204 ÷ 216
    51204 ÷ 65536     		y = 0.78131103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    0.5626220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76752936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.5626220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76752936279071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76752936} λ = 1.76752936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76752936279071))-π/2
    2×atan(0.170754340134353)-π/2
    2×0.169123217690968-π/2
    0.338246435381935-1.57079632675     		φ = -1.23254989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76752936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.271972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23254989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.619907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51204 KachelY 51204 1.76752936 -1.23254989 101.271972 -70.619907
    Oben rechts KachelX + 1 51205 KachelY 51204 1.76762524 -1.23254989 101.277466 -70.619907
    Unten links KachelX 51204 KachelY + 1 51205 1.76752936 -1.23258170 101.271972 -70.621729
    Unten rechts KachelX + 1 51205 KachelY + 1 51205 1.76762524 -1.23258170 101.277466 -70.621729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23254989--1.23258170) × R
    3.18099999998545e-05 × 6371000     		dl = 202.661509999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23254989--1.23258170) × R
    3.18099999998545e-05 × 6371000     		dr = 202.661509999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76752936-1.76762524) × cos(-1.23254989) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.331833400361564 × 6371000     		do = 202.70092372463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76752936-1.76762524) × cos(-1.23258170) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.331803392611697 × 6371000     		du = 202.682593446213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23254989)-sin(-1.23258170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331833400361564-0.331803392611697)×R²
    abs(1.76762524-1.76752936)×3.00077498669449e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.00077498669449e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.00077498669449e-05×40589641000000     		ar = 41077.8178625766m²