Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51204 / 79876
↖ ↑ ↗
← S 36.606709°
W 39.364014°		 ← 245.18 m → S 36.606709°
W 39.361267°		 →
↑
245.16 m
↓
↑
245.16 m
↓
S 36.608914°
W 39.364014°		 ← 245.17 m →
60 106 m²		 S 36.608914°
W 39.361267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390659332275391 y=0.609409332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390659332275391 × 217)
    floor (0.390659332275391 × 131072)
    floor (51204.5)     		tx = 51204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609409332275391 × 217)
    floor (0.609409332275391 × 131072)
    floor (79876.5)     		ty = 79876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51204 / 79876 ti = "17/51204/79876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51204/79876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51204 ÷ 217
    51204 ÷ 131072     		x = 0.390655517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79876 ÷ 217
    79876 ÷ 131072     		y = 0.609405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390655517578125 × 2 - 1) × π
    -0.21868896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68703165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.21881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687415140551605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68703165} λ = -0.68703165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687415140551605))-π/2
    2×atan(0.502874249791811)-π/2
    2×0.465944364211803-π/2
    0.931888728423605-1.57079632675     		φ = -0.63890760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68703165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.364014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63890760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.606709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51204 KachelY 79876 -0.68703165 -0.63890760 -39.364014 -36.606709
    Oben rechts KachelX + 1 51205 KachelY 79876 -0.68698371 -0.63890760 -39.361267 -36.606709
    Unten links KachelX 51204 KachelY + 1 79877 -0.68703165 -0.63894608 -39.364014 -36.608914
    Unten rechts KachelX + 1 51205 KachelY + 1 79877 -0.68698371 -0.63894608 -39.361267 -36.608914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63890760--0.63894608) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dl = 245.156079999693m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63890760--0.63894608) × R
    3.84799999999519e-05 × 6371000     		dr = 245.156079999693m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68703165--0.68698371) × cos(-0.63890760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802747655469156 × 6371000     		do = 245.179796704771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68703165--0.68698371) × cos(-0.63894608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.802724708524503 × 6371000     		du = 245.17278811722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63890760)-sin(-0.63894608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802747655469156-0.802724708524503)×R²
    abs(-0.68698371--0.68703165)×2.29469446535457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29469446535457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29469446535457e-05×40589641000000     		ar = 60106.4587639183m²