Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51208 / 51208
↖ ↑ ↗
← S 70.627196°
E101.293945°		 ← 202.61 m → S 70.627196°
E101.299438°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 70.629019°
E101.293945°		 ← 202.59 m →
41 059 m²		 S 70.629019°
E101.299438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781379699707031 y=0.781379699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781379699707031 × 216)
    floor (0.781379699707031 × 65536)
    floor (51208.5)     		tx = 51208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781379699707031 × 216)
    floor (0.781379699707031 × 65536)
    floor (51208.5)     		ty = 51208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51208 / 51208 ti = "16/51208/51208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51208/51208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51208 ÷ 216
    51208 ÷ 65536     		x = 0.7813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51208 ÷ 216
    51208 ÷ 65536     		y = 0.7813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    0.562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76791286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76791285798767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76791286} λ = 1.76791286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76791285798767))-π/2
    2×atan(0.170688869219744)-π/2
    2×0.169059600941649-π/2
    0.338119201883299-1.57079632675     		φ = -1.23267712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76791286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23267712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.627196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51208 KachelY 51208 1.76791286 -1.23267712 101.293945 -70.627196
    Oben rechts KachelX + 1 51209 KachelY 51208 1.76800873 -1.23267712 101.299438 -70.627196
    Unten links KachelX 51208 KachelY + 1 51209 1.76791286 -1.23270893 101.293945 -70.629019
    Unten rechts KachelX + 1 51209 KachelY + 1 51209 1.76800873 -1.23270893 101.299438 -70.629019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23267712--1.23270893) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dl = 202.661510000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23267712--1.23270893) × R
    3.18100000000765e-05 × 6371000     		dr = 202.661510000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76791286-1.76800873) × cos(-1.23267712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331713376781556 × 6371000     		do = 202.606473683572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76791286-1.76800873) × cos(-1.23270893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.331683367689 × 6371000     		du = 202.58814449685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23267712)-sin(-1.23270893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331713376781556-0.331683367689)×R²
    abs(1.76800873-1.76791286)×3.00090925551832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00090925551832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00090925551832e-05×40589641000000     		ar = 41058.6765858927m²