Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51208 / 83976
↖ ↑ ↗
← S 45.104546°
W 39.353027°		 ← 215.57 m → S 45.104546°
W 39.350281°		 →
↑
215.53 m
↓
↑
215.53 m
↓
S 45.106485°
W 39.353027°		 ← 215.57 m →
46 462 m²		 S 45.106485°
W 39.350281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390689849853516 y=0.640689849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390689849853516 × 217)
    floor (0.390689849853516 × 131072)
    floor (51208.5)     		tx = 51208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640689849853516 × 217)
    floor (0.640689849853516 × 131072)
    floor (83976.5)     		ty = 83976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51208 / 83976 ti = "17/51208/83976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51208/83976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51208 ÷ 217
    51208 ÷ 131072     		x = 0.39068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83976 ÷ 217
    83976 ÷ 131072     		y = 0.64068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68683990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64068603515625 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883956428993835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68683990} λ = -0.68683990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883956428993835))-π/2
    2×atan(0.413145094633525)-π/2
    2×0.391786743044503-π/2
    0.783573486089007-1.57079632675     		φ = -0.78722284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68683990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78722284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.104546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51208 KachelY 83976 -0.68683990 -0.78722284 -39.353027 -45.104546
    Oben rechts KachelX + 1 51209 KachelY 83976 -0.68679196 -0.78722284 -39.350281 -45.104546
    Unten links KachelX 51208 KachelY + 1 83977 -0.68683990 -0.78725667 -39.353027 -45.106485
    Unten rechts KachelX + 1 51209 KachelY + 1 83977 -0.68679196 -0.78725667 -39.350281 -45.106485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78722284--0.78725667) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dl = 215.530930000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78722284--0.78725667) × R
    3.38300000000125e-05 × 6371000     		dr = 215.530930000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68683990--0.68679196) × cos(-0.78722284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705815363567238 × 6371000     		do = 215.574179720751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68683990--0.68679196) × cos(-0.78725667) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.70579139813193 × 6371000     		du = 215.566860059938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78722284)-sin(-0.78725667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705815363567238-0.70579139813193)×R²
    abs(-0.68679196--0.68683990)×2.39654353078045e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39654353078045e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39654353078045e-05×40589641000000     		ar = 46462.1146371353m²