Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5121 / 1025
↖ ↑ ↗
← N 79.163075°
E 45.043945°		 ← 918.73 m → N 79.163075°
E 45.087890°		 →
↑
919.08 m
↓
↑
919.08 m
↓
N 79.154810°
E 45.043945°		 ← 919.42 m →
844 706 m²		 N 79.154810°
E 45.087890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62518310546875 y=0.12518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62518310546875 × 213)
    floor (0.62518310546875 × 8192)
    floor (5121.5)     		tx = 5121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12518310546875 × 213)
    floor (0.12518310546875 × 8192)
    floor (1025.5)     		ty = 1025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5121 / 1025 ti = "13/5121/1025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5121/1025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5121 ÷ 213
    5121 ÷ 8192     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1025 ÷ 213
    1025 ÷ 8192     		y = 0.1251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1251220703125 × 2 - 1) × π
    0.749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35542749973108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35542749973108))-π/2
    2×atan(10.5426348720404)-π/2
    2×1.47622631929543-π/2
    2.95245263859086-1.57079632675     		φ = 1.38165631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38165631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.163075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5121 KachelY 1025 0.78616515 1.38165631 45.043945 79.163075
    Oben rechts KachelX + 1 5122 KachelY 1025 0.78693214 1.38165631 45.087890 79.163075
    Unten links KachelX 5121 KachelY + 1 1026 0.78616515 1.38151205 45.043945 79.154810
    Unten rechts KachelX + 1 5122 KachelY + 1 1026 0.78693214 1.38151205 45.087890 79.154810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38165631-1.38151205) × R
    0.000144260000000118 × 6371000     		dl = 919.080460000753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38165631-1.38151205) × R
    0.000144260000000118 × 6371000     		dr = 919.080460000753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78693214) × cos(1.38165631) × R
    0.000766990000000023 × 0.188014318093767 × 6371000     		do = 918.730703789148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78693214) × cos(1.38151205) × R
    0.000766990000000023 × 0.188156003445525 × 6371000     		du = 919.423048309801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38165631)-sin(1.38151205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188014318093767-0.188156003445525)×R²
    abs(0.78693214-0.78616515)×0.00014168535175732×R²
    0.000766990000000023×0.00014168535175732×6371000²
    0.000766990000000023×0.00014168535175732×40589641000000     		ar = 844705.599478554m²