Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5121 / 5121
↖ ↑ ↗
← S 41.013066°
E 45.043945°		 ← 3 687.15 m → S 41.013066°
E 45.087890°		 →
↑
3 686.26 m
↓
↑
3 686.26 m
↓
S 41.046217°
E 45.043945°		 ← 3 685.30 m →
13 588 383 m²		 S 41.046217°
E 45.087890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62518310546875 y=0.62518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62518310546875 × 213)
    floor (0.62518310546875 × 8192)
    floor (5121.5)     		tx = 5121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62518310546875 × 213)
    floor (0.62518310546875 × 8192)
    floor (5121.5)     		ty = 5121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5121 / 5121 ti = "13/5121/5121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5121/5121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5121 ÷ 213
    5121 ÷ 8192     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5121 ÷ 213
    5121 ÷ 8192     		y = 0.6251220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    -0.250244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.786165153768921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.786165153768921))-π/2
    2×atan(0.455588561686058)-π/2
    2×0.427491646245776-π/2
    0.854983292491552-1.57079632675     		φ = -0.71581303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71581303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.013066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5121 KachelY 5121 0.78616515 -0.71581303 45.043945 -41.013066
    Oben rechts KachelX + 1 5122 KachelY 5121 0.78693214 -0.71581303 45.087890 -41.013066
    Unten links KachelX 5121 KachelY + 1 5122 0.78616515 -0.71639163 45.043945 -41.046217
    Unten rechts KachelX + 1 5122 KachelY + 1 5122 0.78693214 -0.71639163 45.087890 -41.046217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71581303--0.71639163) × R
    0.000578599999999985 × 6371000     		dl = 3686.2605999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71581303--0.71639163) × R
    0.000578599999999985 × 6371000     		dr = 3686.2605999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78693214) × cos(-0.71581303) × R
    0.000766990000000023 × 0.754559955076964 × 6371000     		do = 3687.1521573864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78693214) × cos(-0.71639163) × R
    0.000766990000000023 × 0.754180133470919 × 6371000     		du = 3685.29616165706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71581303)-sin(-0.71639163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.754559955076964-0.754180133470919)×R²
    abs(0.78693214-0.78616515)×0.000379821606045438×R²
    0.000766990000000023×0.000379821606045438×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379821606045438×40589641000000     		ar = 13588383.2611053m²