Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51212 / 83964
↖ ↑ ↗
← S 45.081278°
W 39.342041°		 ← 215.66 m → S 45.081278°
W 39.339294°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
S 45.083218°
W 39.342041°		 ← 215.65 m →
46 509 m²		 S 45.083218°
W 39.339294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390720367431641 y=0.640598297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390720367431641 × 217)
    floor (0.390720367431641 × 131072)
    floor (51212.5)     		tx = 51212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640598297119141 × 217)
    floor (0.640598297119141 × 131072)
    floor (83964.5)     		ty = 83964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51212 / 83964 ti = "17/51212/83964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51212/83964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51212 ÷ 217
    51212 ÷ 131072     		x = 0.390716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83964 ÷ 217
    83964 ÷ 131072     		y = 0.640594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.21856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.68664815
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640594482421875 × 2 - 1) × π
    -0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68664815} λ = -0.68664815}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883381186198395))-π/2
    2×atan(0.413382821741532)-π/2
    2×0.391989792008559-π/2
    0.783979584017117-1.57079632675     		φ = -0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68664815} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51212 KachelY 83964 -0.68664815 -0.78681674 -39.342041 -45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 51213 KachelY 83964 -0.68660021 -0.78681674 -39.339294 -45.081278
    Unten links KachelX 51212 KachelY + 1 83965 -0.68664815 -0.78685059 -39.342041 -45.083218
    Unten rechts KachelX + 1 51213 KachelY + 1 83965 -0.68660021 -0.78685059 -39.339294 -45.083218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78681674--0.78685059) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78681674--0.78685059) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68664815--0.68660021) × cos(-0.78681674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 215.662026682585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68664815--0.68660021) × cos(-0.78685059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.706079015011836 × 6371000     		du = 215.65470565832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78681674)-sin(-0.78685059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706079015011836)×R²
    abs(-0.68660021--0.68664815)×2.39698994098925e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39698994098925e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39698994098925e-05×40589641000000     		ar = 46508.5274162878m²