Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51216 / 18448
↖ ↑ ↗
← N 61.564574°
E101.337891°		 ← 290.84 m → N 61.564574°
E101.343384°		 →
↑
290.90 m
↓
↑
290.90 m
↓
N 61.561958°
E101.337891°		 ← 290.86 m →
84 608 m²		 N 61.561958°
E101.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781501770019531 y=0.281501770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781501770019531 × 216)
    floor (0.781501770019531 × 65536)
    floor (51216.5)     		tx = 51216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281501770019531 × 216)
    floor (0.281501770019531 × 65536)
    floor (18448.5)     		ty = 18448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51216 / 18448 ti = "16/51216/18448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51216/18448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51216 ÷ 216
    51216 ÷ 65536     		x = 0.781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18448 ÷ 216
    18448 ÷ 65536     		y = 0.281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281494140625 × 2 - 1) × π
    0.43701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.37291280511841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76867985} λ = 1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37291280511841))-π/2
    2×atan(3.94683031595111)-π/2
    2×1.32265042182974-π/2
    2.64530084365948-1.57079632675     		φ = 1.07450452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07450452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.564574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51216 KachelY 18448 1.76867985 1.07450452 101.337891 61.564574
    Oben rechts KachelX + 1 51217 KachelY 18448 1.76877572 1.07450452 101.343384 61.564574
    Unten links KachelX 51216 KachelY + 1 18449 1.76867985 1.07445886 101.337891 61.561958
    Unten rechts KachelX + 1 51217 KachelY + 1 18449 1.76877572 1.07445886 101.343384 61.561958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07450452-1.07445886) × R
    4.56600000000584e-05 × 6371000     		dl = 290.899860000372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07450452-1.07445886) × R
    4.56600000000584e-05 × 6371000     		dr = 290.899860000372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76867985-1.76877572) × cos(1.07450452) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476168004155459 × 6371000     		do = 290.837593403457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76867985-1.76877572) × cos(1.07445886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.476208154977635 × 6371000     		du = 290.862117034598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07450452)-sin(1.07445886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.476168004155459-0.476208154977635)×R²
    abs(1.76877572-1.76867985)×4.01508221754554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01508221754554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01508221754554e-05×40589641000000     		ar = 84608.1821790832m²