Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51216 / 18448
↖ ↑ ↗
← N 78.052896°
W 39.331055°		 ← 63.21 m → N 78.052896°
W 39.328308°		 →
↑
63.26 m
↓
↑
63.26 m
↓
N 78.052327°
W 39.331055°		 ← 63.22 m →
3 999 m²		 N 78.052327°
W 39.328308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390750885009766 y=0.140750885009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390750885009766 × 217)
    floor (0.390750885009766 × 131072)
    floor (51216.5)     		tx = 51216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140750885009766 × 217)
    floor (0.140750885009766 × 131072)
    floor (18448.5)     		ty = 18448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51216 / 18448 ti = "17/51216/18448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51216/18448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51216 ÷ 217
    51216 ÷ 131072     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18448 ÷ 217
    18448 ÷ 131072     		y = 0.1407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1407470703125 × 2 - 1) × π
    0.718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2572527293092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2572527293092))-π/2
    2×atan(9.55679795783916)-π/2
    2×1.46653817235607-π/2
    2.93307634471214-1.57079632675     		φ = 1.36228002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36228002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.052896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51216 KachelY 18448 -0.68645640 1.36228002 -39.331055 78.052896
    Oben rechts KachelX + 1 51217 KachelY 18448 -0.68640847 1.36228002 -39.328308 78.052896
    Unten links KachelX 51216 KachelY + 1 18449 -0.68645640 1.36227009 -39.331055 78.052327
    Unten rechts KachelX + 1 51217 KachelY + 1 18449 -0.68640847 1.36227009 -39.328308 78.052327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36228002-1.36227009) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dl = 63.2640300002985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36228002-1.36227009) × R
    9.93000000004685e-06 × 6371000     		dr = 63.2640300002985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(1.36228002) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.207008573109845 × 6371000     		do = 63.2125581121179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(1.36227009) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.207018288007186 × 6371000     		du = 63.2155246728913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36228002)-sin(1.36227009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207008573109845-0.207018288007186)×R²
    abs(-0.68640847--0.68645640)×9.71489734141739e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.71489734141739e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.71489734141739e-06×40589641000000     		ar = 3999.17501102071m²