Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51216 / 84016
↖ ↑ ↗
← S 45.182037°
W 39.331055°		 ← 215.24 m → S 45.182037°
W 39.328308°		 →
↑
215.21 m
↓
↑
215.21 m
↓
S 45.183973°
W 39.331055°		 ← 215.23 m →
46 321 m²		 S 45.183973°
W 39.328308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390750885009766 y=0.640995025634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390750885009766 × 217)
    floor (0.390750885009766 × 131072)
    floor (51216.5)     		tx = 51216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640995025634766 × 217)
    floor (0.640995025634766 × 131072)
    floor (84016.5)     		ty = 84016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51216 / 84016 ti = "17/51216/84016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51216/84016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51216 ÷ 217
    51216 ÷ 131072     		x = 0.3907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84016 ÷ 217
    84016 ÷ 131072     		y = 0.6409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68645640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.885873904978638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68645640} λ = -0.68645640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.885873904978638))-π/2
    2×atan(0.412353657859321)-π/2
    2×0.391110510624726-π/2
    0.782221021249452-1.57079632675     		φ = -0.78857531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68645640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78857531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.182037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51216 KachelY 84016 -0.68645640 -0.78857531 -39.331055 -45.182037
    Oben rechts KachelX + 1 51217 KachelY 84016 -0.68640847 -0.78857531 -39.328308 -45.182037
    Unten links KachelX 51216 KachelY + 1 84017 -0.68645640 -0.78860909 -39.331055 -45.183973
    Unten rechts KachelX + 1 51217 KachelY + 1 84017 -0.68640847 -0.78860909 -39.328308 -45.183973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78857531--0.78860909) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dl = 215.212379999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78857531--0.78860909) × R
    3.37799999999833e-05 × 6371000     		dr = 215.212379999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(-0.78857531) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.704856634201619 × 6371000     		do = 215.236452678407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68645640--0.68640847) × cos(-0.78860909) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.70483267196355 × 6371000     		du = 215.229135520747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78857531)-sin(-0.78860909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704856634201619-0.70483267196355)×R²
    abs(-0.68640847--0.68645640)×2.39622380688864e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39622380688864e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39622380688864e-05×40589641000000     		ar = 46320.7618765497m²