Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51218 / 83986
↖ ↑ ↗
← S 45.123929°
W 39.325562°		 ← 215.50 m → S 45.123929°
W 39.322815°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.125867°
W 39.325562°		 ← 215.49 m →
46 433 m²		 S 45.125867°
W 39.322815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390766143798828 y=0.640766143798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390766143798828 × 217)
    floor (0.390766143798828 × 131072)
    floor (51218.5)     		tx = 51218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640766143798828 × 217)
    floor (0.640766143798828 × 131072)
    floor (83986.5)     		ty = 83986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51218 / 83986 ti = "17/51218/83986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51218/83986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51218 ÷ 217
    51218 ÷ 131072     		x = 0.390762329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83986 ÷ 217
    83986 ÷ 131072     		y = 0.640762329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.218475341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68636053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640762329101562 × 2 - 1) × π
    -0.281524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884435797990036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68636053} λ = -0.68636053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884435797990036))-π/2
    2×atan(0.412947093145904)-π/2
    2×0.391617598767568-π/2
    0.783235197535137-1.57079632675     		φ = -0.78756113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68636053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.325562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78756113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.123929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51218 KachelY 83986 -0.68636053 -0.78756113 -39.325562 -45.123929
    Oben rechts KachelX + 1 51219 KachelY 83986 -0.68631259 -0.78756113 -39.322815 -45.123929
    Unten links KachelX 51218 KachelY + 1 83987 -0.68636053 -0.78759495 -39.325562 -45.125867
    Unten rechts KachelX + 1 51219 KachelY + 1 83987 -0.68631259 -0.78759495 -39.322815 -45.125867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78756113--0.78759495) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dl = 215.467219999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78756113--0.78759495) × R
    3.38199999999622e-05 × 6371000     		dr = 215.467219999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68636053--0.68631259) × cos(-0.78756113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705575679954763 × 6371000     		do = 215.500974176045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68636053--0.68631259) × cos(-0.78759495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.705551713529949 × 6371000     		du = 215.493654213012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78756113)-sin(-0.78759495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705575679954763-0.705551713529949)×R²
    abs(-0.68631259--0.68636053)×2.39664248133931e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39664248133931e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39664248133931e-05×40589641000000     		ar = 46432.6072112051m²