Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5122 / 1026
↖ ↑ ↗
← N 79.154810°
E 45.087890°		 ← 919.42 m → N 79.154810°
E 45.131836°		 →
↑
919.78 m
↓
↑
919.78 m
↓
N 79.146538°
E 45.087890°		 ← 920.12 m →
845 987 m²		 N 79.146538°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62530517578125 y=0.12530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62530517578125 × 213)
    floor (0.62530517578125 × 8192)
    floor (5122.5)     		tx = 5122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12530517578125 × 213)
    floor (0.12530517578125 × 8192)
    floor (1026.5)     		ty = 1026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5122 / 1026 ti = "13/5122/1026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5122/1026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5122 ÷ 213
    5122 ÷ 8192     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1026 ÷ 213
    1026 ÷ 8192     		y = 0.125244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125244140625 × 2 - 1) × π
    0.74951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35466050933716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35466050933716))-π/2
    2×atan(10.5345518725547)-π/2
    2×1.47615418954371-π/2
    2.95230837908742-1.57079632675     		φ = 1.38151205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38151205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.154810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5122 KachelY 1026 0.78693214 1.38151205 45.087890 79.154810
    Oben rechts KachelX + 1 5123 KachelY 1026 0.78769913 1.38151205 45.131836 79.154810
    Unten links KachelX 5122 KachelY + 1 1027 0.78693214 1.38136768 45.087890 79.146538
    Unten rechts KachelX + 1 5123 KachelY + 1 1027 0.78769913 1.38136768 45.131836 79.146538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38151205-1.38136768) × R
    0.000144369999999894 × 6371000     		dl = 919.781269999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38151205-1.38136768) × R
    0.000144369999999894 × 6371000     		dr = 919.781269999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78769913) × cos(1.38151205) × R
    0.000766990000000023 × 0.188156003445525 × 6371000     		do = 919.423048309801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78769913) × cos(1.38136768) × R
    0.000766990000000023 × 0.188297792913896 × 6371000     		du = 920.11590159559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38151205)-sin(1.38136768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188156003445525-0.188297792913896)×R²
    abs(0.78769913-0.78693214)×0.000141789468371289×R²
    0.000766990000000023×0.000141789468371289×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141789468371289×40589641000000     		ar = 845986.737246685m²