Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5122 / 7170
↖ ↑ ↗
← S 79.187835°
E 45.087890°		 ← 916.66 m → S 79.187835°
E 45.131836°		 →
↑
916.28 m
↓
↑
916.28 m
↓
S 79.196075°
E 45.087890°		 ← 915.97 m →
839 595 m²		 S 79.196075°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62530517578125 y=0.87530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62530517578125 × 213)
    floor (0.62530517578125 × 8192)
    floor (5122.5)     		tx = 5122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87530517578125 × 213)
    floor (0.87530517578125 × 8192)
    floor (7170.5)     		ty = 7170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5122 / 7170 ti = "13/5122/7170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5122/7170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5122 ÷ 213
    5122 ÷ 8192     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7170 ÷ 213
    7170 ÷ 8192     		y = 0.875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.75048828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.35772847091284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35772847091284))-π/2
    2×atan(0.0946349452610889)-π/2
    2×0.0943539439812426-π/2
    0.188707887962485-1.57079632675     		φ = -1.38208844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38208844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.187835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5122 KachelY 7170 0.78693214 -1.38208844 45.087890 -79.187835
    Oben rechts KachelX + 1 5123 KachelY 7170 0.78769913 -1.38208844 45.131836 -79.187835
    Unten links KachelX 5122 KachelY + 1 7171 0.78693214 -1.38223226 45.087890 -79.196075
    Unten rechts KachelX + 1 5123 KachelY + 1 7171 0.78769913 -1.38223226 45.131836 -79.196075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38208844--1.38223226) × R
    0.000143820000000128 × 6371000     		dl = 916.277220000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38208844--1.38223226) × R
    0.000143820000000128 × 6371000     		dr = 916.277220000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78769913) × cos(-1.38208844) × R
    0.000766990000000023 × 0.187589877034631 × 6371000     		do = 916.656675401679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78769913) × cos(-1.38223226) × R
    0.000766990000000023 × 0.187448608267885 × 6371000     		du = 915.966366520884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38208844)-sin(-1.38223226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187589877034631-0.187448608267885)×R²
    abs(0.78769913-0.78693214)×0.000141268766746722×R²
    0.000766990000000023×0.000141268766746722×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141268766746722×40589641000000     		ar = 839595.374525554m²