Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51220 / 83988
↖ ↑ ↗
← S 45.127804°
W 39.320068°		 ← 215.44 m → S 45.127804°
W 39.317322°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
S 45.129742°
W 39.320068°		 ← 215.43 m →
46 420 m²		 S 45.129742°
W 39.317322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.390781402587891 y=0.640781402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.390781402587891 × 217)
    floor (0.390781402587891 × 131072)
    floor (51220.5)     		tx = 51220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640781402587891 × 217)
    floor (0.640781402587891 × 131072)
    floor (83988.5)     		ty = 83988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51220 / 83988 ti = "17/51220/83988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51220/83988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51220 ÷ 217
    51220 ÷ 131072     		x = 0.390777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83988 ÷ 217
    83988 ÷ 131072     		y = 0.640777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.21844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68626465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.884531671789276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68626465} λ = -0.68626465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.884531671789276))-π/2
    2×atan(0.412907504236999)-π/2
    2×0.391583776805961-π/2
    0.783167553611922-1.57079632675     		φ = -0.78762877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68626465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78762877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.127804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51220 KachelY 83988 -0.68626465 -0.78762877 -39.320068 -45.127804
    Oben rechts KachelX + 1 51221 KachelY 83988 -0.68621672 -0.78762877 -39.317322 -45.127804
    Unten links KachelX 51220 KachelY + 1 83989 -0.68626465 -0.78766259 -39.320068 -45.129742
    Unten rechts KachelX + 1 51221 KachelY + 1 83989 -0.68621672 -0.78766259 -39.317322 -45.129742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78762877--0.78766259) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78762877--0.78766259) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68626465--0.68621672) × cos(-0.78762877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705527746298131 × 6371000     		do = 215.441384831054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68626465--0.68621672) × cos(-0.78766259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.705503778259336 × 6371000     		du = 215.434065902073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78762877)-sin(-0.78766259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.705527746298131-0.705503778259336)×R²
    abs(-0.68621672--0.68626465)×2.39680387954522e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39680387954522e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39680387954522e-05×40589641000000     		ar = 46419.7677723291m²