Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5124 / 1036
↖ ↑ ↗
← N 79.071812°
E 45.175781°		 ← 926.39 m → N 79.071812°
E 45.219727°		 →
↑
926.73 m
↓
↑
926.73 m
↓
N 79.063478°
E 45.175781°		 ← 927.08 m →
858 829 m²		 N 79.063478°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62554931640625 y=0.12652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62554931640625 × 213)
    floor (0.62554931640625 × 8192)
    floor (5124.5)     		tx = 5124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12652587890625 × 213)
    floor (0.12652587890625 × 8192)
    floor (1036.5)     		ty = 1036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5124 / 1036 ti = "13/5124/1036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5124/1036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5124 ÷ 213
    5124 ÷ 8192     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1036 ÷ 213
    1036 ÷ 8192     		y = 0.12646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    0.7470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34699060539795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34699060539795))-π/2
    2×atan(10.4540619412544)-π/2
    2×1.47542989597299-π/2
    2.95085979194598-1.57079632675     		φ = 1.38006347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38006347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.071812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5124 KachelY 1036 0.78846612 1.38006347 45.175781 79.071812
    Oben rechts KachelX + 1 5125 KachelY 1036 0.78923312 1.38006347 45.219727 79.071812
    Unten links KachelX 5124 KachelY + 1 1037 0.78846612 1.37991801 45.175781 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 5125 KachelY + 1 1037 0.78923312 1.37991801 45.219727 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38006347-1.37991801) × R
    0.000145460000000153 × 6371000     		dl = 926.725660000973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38006347-1.37991801) × R
    0.000145460000000153 × 6371000     		dr = 926.725660000973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(1.38006347) × R
    0.000766999999999962 × 0.189578512672325 × 6371000     		do = 926.386208148492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(1.37991801) × R
    0.000766999999999962 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 927.084106995988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38006347)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189578512672325-0.189721332831283)×R²
    abs(0.78923312-0.78846612)×0.000142820158957557×R²
    0.000766999999999962×0.000142820158957557×6371000²
    0.000766999999999962×0.000142820158957557×40589641000000     		ar = 858829.252063264m²