Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5124 / 5125
↖ ↑ ↗
← S 41.145569°
E 45.175781°		 ← 3 679.77 m → S 41.145569°
E 45.219727°		 →
↑
3 678.81 m
↓
↑
3 678.81 m
↓
S 41.178654°
E 45.175781°		 ← 3 677.92 m →
13 533 763 m²		 S 41.178654°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62554931640625 y=0.62567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62554931640625 × 213)
    floor (0.62554931640625 × 8192)
    floor (5124.5)     		tx = 5124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62567138671875 × 213)
    floor (0.62567138671875 × 8192)
    floor (5125.5)     		ty = 5125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5124 / 5125 ti = "13/5124/5125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5124/5125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5124 ÷ 213
    5124 ÷ 8192     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5125 ÷ 213
    5125 ÷ 8192     		y = 0.6256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.789233115344604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.789233115344604))-π/2
    2×atan(0.454192975381713)-π/2
    2×0.426335331198425-π/2
    0.85267066239685-1.57079632675     		φ = -0.71812566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71812566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.145569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5124 KachelY 5125 0.78846612 -0.71812566 45.175781 -41.145569
    Oben rechts KachelX + 1 5125 KachelY 5125 0.78923312 -0.71812566 45.219727 -41.145569
    Unten links KachelX 5124 KachelY + 1 5126 0.78846612 -0.71870309 45.175781 -41.178654
    Unten rechts KachelX + 1 5125 KachelY + 1 5126 0.78923312 -0.71870309 45.219727 -41.178654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71812566--0.71870309) × R
    0.00057742999999999 × 6371000     		dl = 3678.80652999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71812566--0.71870309) × R
    0.00057742999999999 × 6371000     		dr = 3678.80652999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-0.71812566) × R
    0.000766999999999962 × 0.753040318880375 × 6371000     		do = 3679.77444150695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-0.71870309) × R
    0.000766999999999962 × 0.752660259216756 × 6371000     		du = 3677.91725829727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71812566)-sin(-0.71870309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.753040318880375-0.752660259216756)×R²
    abs(0.78923312-0.78846612)×0.000380059663618981×R²
    0.000766999999999962×0.000380059663618981×6371000²
    0.000766999999999962×0.000380059663618981×40589641000000     		ar = 13533762.5115252m²