Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5124 / 7172
↖ ↑ ↗
← S 79.204309°
E 45.175781°		 ← 915.29 m → S 79.204309°
E 45.219727°		 →
↑
914.94 m
↓
↑
914.94 m
↓
S 79.212538°
E 45.175781°		 ← 914.60 m →
837 118 m²		 S 79.212538°
E 45.219727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62554931640625 y=0.87554931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62554931640625 × 213)
    floor (0.62554931640625 × 8192)
    floor (5124.5)     		tx = 5124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87554931640625 × 213)
    floor (0.87554931640625 × 8192)
    floor (7172.5)     		ty = 7172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5124 / 7172 ti = "13/5124/7172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5124/7172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5124 ÷ 213
    5124 ÷ 8192     		x = 0.62548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7172 ÷ 213
    7172 ÷ 8192     		y = 0.87548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62548828125 × 2 - 1) × π
    0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87548828125 × 2 - 1) × π
    -0.7509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.35926245170068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78846612} λ = 0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.35926245170068))-π/2
    2×atan(0.0944898883588949)-π/2
    2×0.0942101726894681-π/2
    0.188420345378936-1.57079632675     		φ = -1.38237598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38237598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.204309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5124 KachelY 7172 0.78846612 -1.38237598 45.175781 -79.204309
    Oben rechts KachelX + 1 5125 KachelY 7172 0.78923312 -1.38237598 45.219727 -79.204309
    Unten links KachelX 5124 KachelY + 1 7173 0.78846612 -1.38251959 45.175781 -79.212538
    Unten rechts KachelX + 1 5125 KachelY + 1 7173 0.78923312 -1.38251959 45.219727 -79.212538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38237598--1.38251959) × R
    0.000143610000000072 × 6371000     		dl = 914.939310000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38237598--1.38251959) × R
    0.000143610000000072 × 6371000     		dr = 914.939310000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-1.38237598) × R
    0.000766999999999962 × 0.18730743385405 × 6371000     		do = 915.288452051501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78846612-0.78923312) × cos(-1.38251959) × R
    0.000766999999999962 × 0.187166363627405 × 6371000     		du = 914.599104347995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38237598)-sin(-1.38251959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18730743385405-0.187166363627405)×R²
    abs(0.78923312-0.78846612)×0.000141070226645335×R²
    0.000766999999999962×0.000141070226645335×6371000²
    0.000766999999999962×0.000141070226645335×40589641000000     		ar = 837118.03055456m²