Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5125 / 1019
↖ ↑ ↗
← N 79.212538°
E 45.219727°		 ← 914.59 m → N 79.212538°
E 45.263672°		 →
↑
914.94 m
↓
↑
914.94 m
↓
N 79.204309°
E 45.219727°		 ← 915.28 m →
837 107 m²		 N 79.204309°
E 45.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62567138671875 y=0.12445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62567138671875 × 213)
    floor (0.62567138671875 × 8192)
    floor (5125.5)     		tx = 5125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12445068359375 × 213)
    floor (0.12445068359375 × 8192)
    floor (1019.5)     		ty = 1019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5125 / 1019 ti = "13/5125/1019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5125/1019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5125 ÷ 213
    5125 ÷ 8192     		x = 0.6256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1019 ÷ 213
    1019 ÷ 8192     		y = 0.1243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6256103515625 × 2 - 1) × π
    0.251220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78923312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1243896484375 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78923312} λ = 0.78923312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3600294420946))-π/2
    2×atan(10.5912632768188)-π/2
    2×1.47665795855319-π/2
    2.95331591710638-1.57079632675     		φ = 1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78923312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.219727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5125 KachelY 1019 0.78923312 1.38251959 45.219727 79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 5126 KachelY 1019 0.79000011 1.38251959 45.263672 79.212538
    Unten links KachelX 5125 KachelY + 1 1020 0.78923312 1.38237598 45.219727 79.204309
    Unten rechts KachelX + 1 5126 KachelY + 1 1020 0.79000011 1.38237598 45.263672 79.204309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38251959-1.38237598) × R
    0.000143610000000072 × 6371000     		dl = 914.939310000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38251959-1.38237598) × R
    0.000143610000000072 × 6371000     		dr = 914.939310000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78923312-0.79000011) × cos(1.38251959) × R
    0.000766990000000023 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 914.587179979041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78923312-0.79000011) × cos(1.38237598) × R
    0.000766990000000023 × 0.18730743385405 × 6371000     		du = 915.276518694962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38251959)-sin(1.38237598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.18730743385405)×R²
    abs(0.79000011-0.78923312)×0.000141070226645335×R²
    0.000766990000000023×0.000141070226645335×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141070226645335×40589641000000     		ar = 837107.116369091m²