Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5126 / 7174
↖ ↑ ↗
← S 79.220760°
E 45.263672°		 ← 913.90 m → S 79.220760°
E 45.307617°		 →
↑
913.54 m
↓
↑
913.54 m
↓
S 79.228975°
E 45.263672°		 ← 913.21 m →
834 566 m²		 S 79.228975°
E 45.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62579345703125 y=0.87579345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62579345703125 × 213)
    floor (0.62579345703125 × 8192)
    floor (5126.5)     		tx = 5126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87579345703125 × 213)
    floor (0.87579345703125 × 8192)
    floor (7174.5)     		ty = 7174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5126 / 7174 ti = "13/5126/7174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5126/7174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5126 ÷ 213
    5126 ÷ 8192     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7174 ÷ 213
    7174 ÷ 8192     		y = 0.875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.75146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36079643248853
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36079643248853))-π/2
    2×atan(0.0943450538006228)-π/2
    2×0.0940666178736466-π/2
    0.188133235747293-1.57079632675     		φ = -1.38266309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38266309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.220760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5126 KachelY 7174 0.79000011 -1.38266309 45.263672 -79.220760
    Oben rechts KachelX + 1 5127 KachelY 7174 0.79076710 -1.38266309 45.307617 -79.220760
    Unten links KachelX 5126 KachelY + 1 7175 0.79000011 -1.38280648 45.263672 -79.228975
    Unten rechts KachelX + 1 5127 KachelY + 1 7175 0.79076710 -1.38280648 45.307617 -79.228975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38266309--1.38280648) × R
    0.000143389999999854 × 6371000     		dl = 913.537689999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38266309--1.38280648) × R
    0.000143389999999854 × 6371000     		dr = 913.537689999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79076710) × cos(-1.38266309) × R
    0.000766989999999912 × 0.187025397599732 × 6371000     		do = 913.898350430566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79076710) × cos(-1.38280648) × R
    0.000766989999999912 × 0.186884535782793 × 6371000     		du = 913.21003010728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38266309)-sin(-1.38280648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187025397599732-0.186884535782793)×R²
    abs(0.79076710-0.79000011)×0.00014086181693812×R²
    0.000766989999999912×0.00014086181693812×6371000²
    0.000766989999999912×0.00014086181693812×40589641000000     		ar = 834566.186097345m²