Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51264 / 79936
↖ ↑ ↗
← S 36.738884°
W 39.199219°		 ← 244.76 m → S 36.738884°
W 39.196472°		 →
↑
244.77 m
↓
↑
244.77 m
↓
S 36.741085°
W 39.199219°		 ← 244.75 m →
59 910 m²		 S 36.741085°
W 39.196472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 79936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391117095947266 y=0.609867095947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391117095947266 × 217)
    floor (0.391117095947266 × 131072)
    floor (51264.5)     		tx = 51264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609867095947266 × 217)
    floor (0.609867095947266 × 131072)
    floor (79936.5)     		ty = 79936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51264 / 79936 ti = "17/51264/79936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51264/79936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51264 ÷ 217
    51264 ÷ 131072     		x = 0.39111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 79936 ÷ 217
    79936 ÷ 131072     		y = 0.60986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39111328125 × 2 - 1) × π
    -0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    -0.2197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.690291354528809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68415543} λ = -0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.690291354528809))-π/2
    2×atan(0.501429953893483)-π/2
    2×0.464790917665676-π/2
    0.929581835331353-1.57079632675     		φ = -0.64121449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64121449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.738884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51264 KachelY 79936 -0.68415543 -0.64121449 -39.199219 -36.738884
    Oben rechts KachelX + 1 51265 KachelY 79936 -0.68410749 -0.64121449 -39.196472 -36.738884
    Unten links KachelX 51264 KachelY + 1 79937 -0.68415543 -0.64125291 -39.199219 -36.741085
    Unten rechts KachelX + 1 51265 KachelY + 1 79937 -0.68410749 -0.64125291 -39.196472 -36.741085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64121449--0.64125291) × R
    3.84199999999835e-05 × 6371000     		dl = 244.773819999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64121449--0.64125291) × R
    3.84199999999835e-05 × 6371000     		dr = 244.773819999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68415543--0.68410749) × cos(-0.64121449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.801369878631093 × 6371000     		do = 244.758988194451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68415543--0.68410749) × cos(-0.64125291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.801346896381368 × 6371000     		du = 244.751968823822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64121449)-sin(-0.64125291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.801369878631093-0.801346896381368)×R²
    abs(-0.68410749--0.68415543)×2.29822497247456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29822497247456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29822497247456e-05×40589641000000     		ar = 59909.7334478865m²