Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51265 / 84033
↖ ↑ ↗
← S 45.214939°
W 39.196472°		 ← 215.11 m → S 45.214939°
W 39.193726°		 →
↑
215.08 m
↓
↑
215.08 m
↓
S 45.216873°
W 39.196472°		 ← 215.10 m →
46 267 m²		 S 45.216873°
W 39.193726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391124725341797 y=0.641124725341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391124725341797 × 217)
    floor (0.391124725341797 × 131072)
    floor (51265.5)     		tx = 51265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641124725341797 × 217)
    floor (0.641124725341797 × 131072)
    floor (84033.5)     		ty = 84033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51265 / 84033 ti = "17/51265/84033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51265/84033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51265 ÷ 217
    51265 ÷ 131072     		x = 0.391120910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84033 ÷ 217
    84033 ÷ 131072     		y = 0.641120910644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391120910644531 × 2 - 1) × π
    -0.217758178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.68410749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641120910644531 × 2 - 1) × π
    -0.282241821289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.886688832272179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68410749} λ = -0.68410749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.886688832272179))-π/2
    2×atan(0.412017756495124)-π/2
    2×0.390823390180241-π/2
    0.781646780360482-1.57079632675     		φ = -0.78914955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68410749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.196472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78914955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.214939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51265 KachelY 84033 -0.68410749 -0.78914955 -39.196472 -45.214939
    Oben rechts KachelX + 1 51266 KachelY 84033 -0.68405956 -0.78914955 -39.193726 -45.214939
    Unten links KachelX 51265 KachelY + 1 84034 -0.68410749 -0.78918331 -39.196472 -45.216873
    Unten rechts KachelX + 1 51266 KachelY + 1 84034 -0.68405956 -0.78918331 -39.193726 -45.216873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78914955--0.78918331) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dl = 215.08495999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78914955--0.78918331) × R
    3.37599999999938e-05 × 6371000     		dr = 215.08495999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68410749--0.68405956) × cos(-0.78914955) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704449180986544 × 6371000     		do = 215.11203193802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68410749--0.68405956) × cos(-0.78918331) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.704425219275536 × 6371000     		du = 215.104714941304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78914955)-sin(-0.78918331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.704449180986544-0.704425219275536)×R²
    abs(-0.68405956--0.68410749)×2.3961711007825e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3961711007825e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3961711007825e-05×40589641000000     		ar = 46266.5759014004m²