Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5127 / 1033
↖ ↑ ↗
← N 79.096777°
E 45.307617°		 ← 924.28 m → N 79.096777°
E 45.351563°		 →
↑
924.62 m
↓
↑
924.62 m
↓
N 79.088462°
E 45.307617°		 ← 924.98 m →
854 936 m²		 N 79.088462°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62591552734375 y=0.12615966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62591552734375 × 213)
    floor (0.62591552734375 × 8192)
    floor (5127.5)     		tx = 5127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12615966796875 × 213)
    floor (0.12615966796875 × 8192)
    floor (1033.5)     		ty = 1033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5127 / 1033 ti = "13/5127/1033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5127/1033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5127 ÷ 213
    5127 ÷ 8192     		x = 0.6258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1033 ÷ 213
    1033 ÷ 8192     		y = 0.1260986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1260986328125 × 2 - 1) × π
    0.747802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34929157657971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79076710} λ = 0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34929157657971))-π/2
    2×atan(10.4781441321019)-π/2
    2×1.47564775712527-π/2
    2.95129551425055-1.57079632675     		φ = 1.38049919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38049919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.096777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5127 KachelY 1033 0.79076710 1.38049919 45.307617 79.096777
    Oben rechts KachelX + 1 5128 KachelY 1033 0.79153409 1.38049919 45.351563 79.096777
    Unten links KachelX 5127 KachelY + 1 1034 0.79076710 1.38035406 45.307617 79.088462
    Unten rechts KachelX + 1 5128 KachelY + 1 1034 0.79153409 1.38035406 45.351563 79.088462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38049919-1.38035406) × R
    0.00014513000000016 × 6371000     		dl = 924.623230001018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38049919-1.38035406) × R
    0.00014513000000016 × 6371000     		dr = 924.623230001018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79076710-0.79153409) × cos(1.38049919) × R
    0.000766990000000023 × 0.189150676226003 × 6371000     		do = 924.283510177352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79076710-0.79153409) × cos(1.38035406) × R
    0.000766990000000023 × 0.189293184357591 × 6371000     		du = 924.979875206127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38049919)-sin(1.38035406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189150676226003-0.189293184357591)×R²
    abs(0.79153409-0.79076710)×0.000142508131587921×R²
    0.000766990000000023×0.000142508131587921×6371000²
    0.000766990000000023×0.000142508131587921×40589641000000     		ar = 854935.943760336m²