Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5127 / 7175
↖ ↑ ↗
← S 79.228975°
E 45.307617°		 ← 913.21 m → S 79.228975°
E 45.351563°		 →
↑
912.90 m
↓
↑
912.90 m
↓
S 79.237185°
E 45.307617°		 ← 912.52 m →
833 356 m²		 S 79.237185°
E 45.351563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62591552734375 y=0.87591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62591552734375 × 213)
    floor (0.62591552734375 × 8192)
    floor (5127.5)     		tx = 5127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87591552734375 × 213)
    floor (0.87591552734375 × 8192)
    floor (7175.5)     		ty = 7175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5127 / 7175 ti = "13/5127/7175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5127/7175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5127 ÷ 213
    5127 ÷ 8192     		x = 0.6258544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7175 ÷ 213
    7175 ÷ 8192     		y = 0.8758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    0.251708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79076710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36156342288245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79076710} λ = 0.79076710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36156342288245))-π/2
    2×atan(0.0942727197939339)-π/2
    2×0.0939949215460365-π/2
    0.187989843092073-1.57079632675     		φ = -1.38280648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79076710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38280648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.228975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5127 KachelY 7175 0.79076710 -1.38280648 45.307617 -79.228975
    Oben rechts KachelX + 1 5128 KachelY 7175 0.79153409 -1.38280648 45.351563 -79.228975
    Unten links KachelX 5127 KachelY + 1 7176 0.79076710 -1.38294977 45.307617 -79.237185
    Unten rechts KachelX + 1 5128 KachelY + 1 7176 0.79153409 -1.38294977 45.351563 -79.237185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38280648--1.38294977) × R
    0.000143290000000018 × 6371000     		dl = 912.900590000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38280648--1.38294977) × R
    0.000143290000000018 × 6371000     		dr = 912.900590000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79076710-0.79153409) × cos(-1.38280648) × R
    0.000766990000000023 × 0.186884535782793 × 6371000     		do = 913.210030107413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79076710-0.79153409) × cos(-1.38294977) × R
    0.000766990000000023 × 0.186743768364246 × 6371000     		du = 912.522171061231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38280648)-sin(-1.38294977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186884535782793-0.186743768364246)×R²
    abs(0.79153409-0.79076710)×0.000140767418547266×R²
    0.000766990000000023×0.000140767418547266×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140767418547266×40589641000000     		ar = 833356.00324218m²